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Exposé Bourbaki 1130 : Laplacien hypoelliptique géométrique et intégrale orbitale (d'après Bismut, Lebeau et Shen)

Exposé Bourbaki 1130 : Geometric hypoelliptic Laplacian and orbital integrals (after Bismut, Lebeau and Shen)

Xiaonan MA
Exposé Bourbaki 1130 : Laplacien hypoelliptique géométrique et intégrale orbitale (d'après Bismut, Lebeau et Shen)
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  • Année : 2019
  • Tome : 407
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F72, 58J20, 11M36, 35H10, 58J52, 58J65, 37C30
  • Pages : 333-390
  • DOI : 10.24033/ast.1068

Il y a 15 ans, Bismut a donné une construction naturelle d'une théorie de Hodge, dont le laplacien est un opérateur hypoelliptique d'origine géométrique  agissant sur l'espace total du fibré cotangent d'une variété riemannienne. Ce laplacien interpole entre le laplacien elliptique classique et le générateur du flot géodésique. Nous allons décrire des développements  récents de la théorie du laplacien hypoelliptique, en particulier la formule explicite obtenue par Bismut pour les intégrales orbitales,  et le travail récent de Shen sur la solution  pour les espaces localement symétriques de la conjecture formulée par Fried en 1986,  qui prévoit l'égalité  de la torsion analytique et de  la valeur en $0$ de la fonction zêta dynamique.

Hodge theory for a hypoelliptic Laplacian acting on the total space of the cotangent bundle of a Riemannian manifold. This operator interpolates between the classical elliptic Laplacian on the base and the generator of the geodesic flow. We will describe recent developments  of the theory of hypoelliptic Laplacians, in particular the explicit formula obtained by Bismut for orbital integrals and the recent solution by Shen of Fried's conjecture (dating back to 1986) for locally symmetric spaces. The conjecture predicts the equality of the analytic torsion and the value at $0$ of the dynamic zeta function.

Laplacien géométrique hypoelliptique, intégrales orbitales, formule de trace de Selberg, fonctions de zêta dynamiques, théorie de l'indice et théorèmes du point fixe, torsion analytique, équations hypoelliptiques, théorie de Hodge
Geometric hypoelliptic Laplacian, orbital integrals, Selberg trace formula, dynamical zeta functions, index theory and related fixed point theorems, analytic torsion, hypoelliptic equations, Hodge theory
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