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Exposé Bourbaki 1136 : Programme de Zimmer (d'après A. Brown, D. Fisher et S. Hurtado)

Exposé Bourbaki 1136 : Recent progress on the Zimmer Program (after A. Brown, D. Fisher and S. Hurtado)

Serge CANTAT
Exposé Bourbaki 1136 : Programme de Zimmer (d'après A. Brown, D. Fisher et S. Hurtado)
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  • Année : 2019
  • Tome : 414
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E40, 37C85, 37C40, 53C24
  • Pages : 1-48
  • DOI : 10.24033/ast.1080

Soit $\Gamma$ un réseau d'un groupe de Lie simple $G$, par exemple le réseau ${\mathrm{SL}}_n({\mathbf{Z}})$ du groupe ${\mathrm{SL}}_n({\mathbf{R}})$. Lorsque le rang de $G$ est supérieur ou égal  à $2$, les théorèmes de rigidité de Mostow et Margulis imposent des contraintes fortes aux représentations linéaires de $\Gamma$ de dimension finie. Le programme de Zimmer demande ce qui persiste de ces contraintes pour les actions par difféomorphismes. Par exemple, $\Gamma$ peut-il agir fidèlement sur une variété compacte de dimension strictement inférieure au rang de $G$ ? Je décrirai quelques résultats récents qui permettent de répondre partiellement à cette question.

Let $\Gamma$ be a lattice in a simple Lie group $G$, for instance the lattice  ${\mathrm{SL}}_n({\mathbf{Z}})$ of the group ${\mathrm{SL}}_n({\mathbf{R}})$. When the rank of $G$ is at least $2$, the rigidity theorems of Mostow and Margulis impose drastic constraints on the linear, finite dimensional representations of $\Gamma$. The Zimmer Program asks whether some of these constraints persist for actions by diffeomorphisms. For instance, does there exist a faithful action of $\Gamma$ on a compact manifold, the dimension of which is strictly less than the rank of $G$ ? I shall describe recent results that answer this question in particular cases.

Groupes de difféomorphismes, programme de Zimmer, réseaux des groupes de Lie simples, systèmes dynamiques
Groups of diffeomorphisms, Zimmer program, lattices of simple Lie groups, dynamical systems
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