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Exposé Bourbaki 1139 : La théorie de Hodge des bimodules de Soergel (d'après Soergel et Elias-Williamson)

Exposé Bourbaki 1139 : The Hodge theory of Soergel bimodules (after Soergel and Elias-Williamson)

Simon RICHE
Exposé Bourbaki 1139 : La théorie de Hodge des bimodules de Soergel (d'après Soergel et Elias-Williamson)
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  • Année : 2019
  • Tome : 414
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20C08, 20F55
  • Pages : 125-166
  • DOI : 10.24033/ast.1083

Les bimodules de Soergel sont certains bimodules sur des algèbres de polynômes, associés à des groupes de Coxeter, et introduits par Soergel dans les années 90 dans le cadre de son étude de la catégorie O des algèbres de Lie semisimples complexes. Bien que leur définition soit algébrique et assez élémentaire, certaines de leurs propriétés cruciales n'étaient connues jusqu'à présent que dans le cas des groupes de Coxeter cristallographiques, où on peut interpréter ces bimodules comme la cohomologie d'intersection équivariante de variétés de Schubert. Dans des travaux récents Elias et Williamson ont démontré ces propriétés en toute généralité en montrant que ces bimodules possèdent des propriétés "de type Hodge", même quand ils ne peuvent pas s'interpréter en terme de cohomologie d'intersection. Ces travaux impliquent la positivité des polynômes de Kazhdan-Lusztig en toute généralité et fournissent une preuve algébrique de la conjecture de Kazhdan-Lusztig.

Soergel bimodules are certain bimodules over polynomial algebras, associated to a Coxeter group, and introduced by Soergel in the 1990s in the course of his study of category O of complex semisimple Lie algebras. Even though their definition is algebraic and relatively elementary, some of their crucial properties were known until recently only in the case of crystallographic Coxeter groups, where these bimodules can be described as equivariant intersection cohomology of Schubert varieties. In recent work Elias and Williamson have proved these properties in full generality by showing that Soergel bimodules possess "Hodge type" properties, even when they cannot be interpreted in terms of intersection cohomology. These results imply positivity of Kazhdan-Lusztig polynomials in full generality, and an algebraic proof of the Kazhdan-Lusztig conjecture.

Systèmes de Coxeter, algèbres de Hecke, polynômes de Kazhdan-Lusztig, théorie de Hodge
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