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Exposé Bourbaki 1142 : Méthodes entropiques pour les convolutions de Bernoulli (d'après Hochman, Shmerkin, Breuillard, Varju)

Exposé Bourbaki 1142 : Entropy methods for Bernoulli convolutions (after Hochman, Shmerkin, Breuillard, Varju)

Sébastien GOUËZEL
Exposé Bourbaki 1142 : Méthodes entropiques pour les convolutions de Bernoulli (d'après Hochman, Shmerkin, Breuillard, Varju)
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  • Année : 2019
  • Tome : 414
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 28A80, 42A85
  • Pages : 251-288
  • DOI : 10.24033/ast.1086

La convolution de Bernoulli de paramètre $ \lambda \in [1/2, 1[$ est la loi de $ \sum \lambda^n \xi_n$, ou les $ \xi_n$ forment une suite de variables de Bernoulli non biaisées. On conjecture depuis les travaux fondateurs d’Erdos et Kahane que cette mesure réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue lorsque $ \lambda$ n’est pas l’inverse d’un nombre de Pisot. Cette question, malgré son apparente simplicité, est extrêmement délicate et encore ouverte. Elle a motivé au fil du temps le développement de différentes techniques qui ont ensuite pu être appliquées dans des contextes beaucoup plus généraux. Cet exposé sera consacré à la méthode entropique, introduite récemment par Hochman, qui fait le lien avec le monde de la combinatoire additive et a permis des développements spectaculaires.

The Bernoulli convolution with parameter $ \lambda \in [1/2,1)$ is the distribution of $ \sum \xi_n \lambda^n$, where the $ \xi_n$ are a sequence of independent unbiased Bernoulli random variables. It is conjectured since the work of Erdos and Kahane that this real measure is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure when $ \lambda$ is not the inverse of a Pisot number. Despite its innocent-looking formulation, this question is extremely delicate, and still open. It has motivated along time the development of several techniques that have then been applied in much more general contexts. This talk is devoted to the entropy method, recently introduced by Hochman, that relates this problem to the world of additive combinatorics, and has opened the way to spectacular developments.

Convolution de Bernoulli, mesure auto-similaire, dimension, entropie, convolution
Bernoulli convolution, self-similar measure, dimension, entropy, convolution
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