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Exposé Bourbaki 1157 : Résultats de bornitude pour les variétés de Fano singulières et applications aux groupes de Cremona (suivant Birkar et Prokhorov-Shramov)

Exposé Bourbaki 1157 : Boundedness results for singular Fano varieties, and applications to Cremona groups following Birkar and Prokhorov-Shramov

Stefan KEBEKUS
Exposé Bourbaki 1157 : Résultats de bornitude pour les variétés de Fano singulières et applications aux groupes de Cremona (suivant Birkar et Prokhorov-Shramov)
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J45, 14E30, 14C20, 14E05, 14E07
  • Pages : 253-290
  • DOI : 10.24033/ast.1136

Une variété projective normale est appelée Fano si une puissance négative de la classe de son diviseur canonique est un diviseur de Cartier et si le fibré en droites correspondant est ample. Les variétés de Fano apparaissent partout en géométrie et sont étudiées intensément. Le programme du modèle minimal prédit dans un sens adéquat que les variétés de Fano sont une des classes fondamentales de variétés à partir desquelles toutes les autres sont construites.

Nous raconterons les travaux de Birkar, qui a validé une conjecture ancienne d'Alexeev et Borisov-Borisov affirmant que les variétés de Fano avec singularités modérées forment une famille bornée une fois que leur dimension est fixée. Ceci a des conséquences immédiates pour notre compréhension des groupes de Cremona. Suivant Prokhorov-Shramov, nous expliquerons comment le résultat de bornitude de Birkar implique que les groupes des automorphismes birationnels des espaces projectifs satisfont à la propriété de Jordan ; ceci donne une réponse positive à une question de Serre.

A normal, projective variety is called Fano if a negative multiple of its canonical divisor class is Cartier and if the associated line bundle is ample. Fano varieties appear throughout geometry and have been studied intensely. The Minimal Model Programme predicts in an appropriate sense that Fanos are one of the fundamental classes of varieties, out of which all other varieties are built.

We report on work of Birkar, who confirmed a long-standing conjecture of Alexeev and Borisov-Borisov, asserting that Fano varieties with mild singularities form a bounded family once their dimension is fixed. This has immediate consequences for our understanding of Cremona groups. Following Prokhorov-Shramov, we explain how Birkar's boundedness result implies that birational automorphism groups of projective spaces satisfy the Jordan property; this answers a question of Serre in the positive.

Variété de Fano, singularités du programme du modèle minimal, groupe de Cremona
Fano variety, singularities of the minimal model program, Cremona group
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