Exposé Bourbaki 1160 : Les polynômes HOMFLY à partir des schémas de Hilbert d'une courbe plane (d'après D. Maulik, A. Oblomkov, V. Shende, ...)
Exposé Bourbaki 1160 : HOMFLY polynomials rom the Hilbert schemes of a planar curve (after D. Maulik, A. Oblomkov, V. Shende, ...)
Anglais
Parmi les invariants les plus intéressants associés à un entrelacs L⊂S3, on trouve le polynôme HOMFLY P(L,v,s)∈Z[v±1,(s−s−1)±1]. A. Oblomkov and V. Shende ont conjecturé que ce polynôme a une expression algébro-géométrique lorsque L est obtenu comme l'intersection de la singularité d'une courbe plane (C,p)⊂C2 avec une petite sphère centrée en p: si f=0 est une équation locale de C, son schéma de Hilbert C[n]p est la variété algébrique dont les points sont les sous-schémas de longueur n de C supportés en p, ou, de manière équivalente, les idéaux I⊂C[[x,y]] contenant f et tels que dimC[[x,y]]/I=n. Si m:C[n]p→Z désigne la function qui associe à un idéal I le cardinal minimal m(I) d'une partie génératrice, ces auteurs ont conjecturé que la série génératrice Z(C,v,s)=∑ns2n∫C[n]p(1−v2)m(I)dχ(I) coïncide, à renormalisation près, avec P(L,v,s). Dans la formule précédente, l'intégration est effectuée par rapport à la mesure caractéristique d'Euler dχ. Une version plus élaborée de cette surprenante égalité, impliquant une variante "colorée" de P(L,v,s), a été conjecturée par E. Diaconescu, Z. Hua and Y. Soibelman.
L'exposé illustrera les techniques mises en œuvre par D. Maulik pour démontrer cette conjecture.