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Exposé Bourbaki 1160 : Les polynômes HOMFLY à partir des schémas de Hilbert d'une courbe plane (d'après D. Maulik, A. Oblomkov, V. Shende, ...)

Exposé Bourbaki 1160 : HOMFLY polynomials rom the Hilbert schemes of a planar curve (after D. Maulik, A. Oblomkov, V. Shende, ...)

Luca MIGLIORNI
Exposé Bourbaki 1160 : Les polynômes HOMFLY à partir des schémas de Hilbert d'une courbe plane (d'après D. Maulik, A. Oblomkov, V. Shende, ...)
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14C05, 14H20, 57M25, 57M27
  • Pages : 355-389
  • DOI : 10.24033/ast.1139

Parmi les invariants les plus intéressants associés à un entrelacs ${\mathcal L} \subset S^3$, on trouve le polynôme HOMFLY $P({\mathcal L},v,s) \in {\mathbf Z}[v^{\pm1}, (s-s^{-1})^{\pm1}]$. A. Oblomkov and V. Shende  ont conjecturé que ce polynôme a une expression algébro-géométrique lorsque $\mathcal L$ est obtenu comme l'intersection de la singularité d'une courbe plane $(C,p) \subset {\mathbf C}^2$ avec une petite sphère centrée en $p$: si $f=0$ est une équation locale de $C$, son schéma de Hilbert $C_p^{[n]}$ est la variété algébrique dont les points sont les sous-schémas de longueur $n$ de $C$ supportés en $p$, ou, de manière équivalente, les idéaux $I \subset {\mathbf C}[[x,y]]$ contenant $f$ et tels que $\dim  {\mathbf C}[[x,y]]/I=n$. Si $m: C_p^{[n]} \to {\mathbf Z}$ désigne la function qui associe à un idéal $I$ le cardinal minimal $m(I)$ d'une partie génératrice, ces auteurs ont conjecturé que la série génératrice $Z(C,v,s)=\sum_n s^{2n} \int_{C_p^{[n]}}(1-v^2)^{m(I)}d\chi(I)$ coïncide, à renormalisation près, avec $P({\mathcal L},v,s)$. Dans la formule précédente, l'intégration est effectuée par rapport à la mesure caractéristique d'Euler $d\chi$. Une version plus élaborée de cette surprenante égalité, impliquant une variante "colorée" de $P({\mathcal L},v,s)$, a été conjecturée par E. Diaconescu, Z. Hua and Y. Soibelman.
L'exposé illustrera les techniques mises en œuvre par  D. Maulik  pour démontrer cette conjecture.

Among the most interesting invariants one can associate with a link ${\mathcal L} \subset S^3$ is its HOMFLY polynomial $P({\mathcal L},v,s) \in {\mathbf Z}[v^{\pm1}, (s-s^{-1})^{\pm1}]$. A. Oblomkov and V. Shende conjectured that this polynomial can be expressed in algebraic geometric terms when  $\mathcal L$ is obtained  as the intersection of a plane curve singularity $(C,p) \subset {\mathbf C}^2$ with a small sphere centered at $p$: if $f =0$ is the local equation of $C$, its Hilbert scheme $C_p^{[n]}$ is the algebraic variety whose points are the length $n$ subschemes of $C$ supported at $p$, or, equivalently, the ideals $I \subset {\mathbf C}[[x,y]]$ containing $f$ and such that $\dim  {\mathbf C}[[x,y]]/I=n$. If $m: C_p^{[n]} \to {\mathbf Z}$ is the function associating with the ideal $I$ the minimal number $m(I)$ of its generators, they conjecture that the generating function $Z(C,v,s)=\sum_n s^{2n} \int_{C_p^{[n]}}(1-v^2)^{m(I)}d\chi(I)$ coincides, up to a renormalization, with $P({\mathcal L},v,s)$. In the formula the integral is done with respect to the Euler characteristic measure $d\chi$. A more refined version of this surprising identity, involving a "colored'' variant of $P({\mathcal L},v,s)$, was conjectured to hold by E. Diaconescu, Z. Hua and Y. Soibelman.
The seminar will illustrate the techniques used by D. Maulik  to prove this conjecture.

Singularités de courbes planes, schéma de Hilbert, pairs stables, entrelacs algébriques, polynômes HOMFLY, algèbre skein
Plane curve singularities, Hilbert scheme, Stable pairs. Algebraic links, HOMFLY polynomials, Skein algebra
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