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Exposé Bourbaki 1159 : Théories de Teichmüller de rang supérieur

Exposé Bourbaki 1159 : Higher rank Teichmüller theories

Béatrice POZZETTI
Exposé Bourbaki 1159 : Théories de Teichmüller de rang supérieur
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53C15, 32G15, 37F30
  • Pages : 327-354
  • DOI : 10.24033/ast.1138

Soit $\Gamma$ le groupe fondamental d'une surface compacte $S$ de caractéristique d'Euler strictement négative et soit $G$ le groupe $\mathrm{PSL}(2,\mathbf{R})$ des isométries du plan hyperbolique. Goldman a observé que l'espace de Teichmüller, l'espace des classes de structures complexes marquées sur $S$, s'identifie à une composante connexe de la variété des caractères $\mathrm{Hom}(\Gamma,G)/G$, qui est sélectionnée à l'aide d'une classe caratéristique. Grâce aux travaux de  Labourie, Burger-Iozzi-Wienhard, Fock-Goncharov, Guichard-Wienhard, nous savons maintenant que, d'une manière surprenante, ceci est un phénomène bien plus général : il existe beaucoup de groupes de Lie $G$ semisimples et de rang supérieur tels que les variétés des caractères associées admettent des composantes connexes constituées uniquement de représentations fidèles et d'image discrète, les sus-nommées théories de Teichmüller supérieures.

La richesse de ces théories est en partie due au fait que, tout comme pour l'espace de Teichmüller, des techniques totalement différentes peuvent s'appliquer à leurs études : cohomologie bornée, fibrés de Higgs, positivité, applications harmoniques, structures d'incidence, courants géodésiques, géométrie algébrique réelle... Dans mon exposé, je ferai un survol d'un certain nombre de résultats récents dans le sujet (suivant Labourie, Burger-Iozzi-Wienhard, Fock-Goncharov, Guichard-Wienhard, Bonahon-Dreyer, Li, Zhang, Martone-Zhang, Baraglia, Alessandrini-Li, Collier-Tholozan-Toulisse.)

Let $\Gamma$ be the fundamental group of a compact surface $S$ with negative Euler characteristic, and $G$ denote $\mathrm{PSL}(2,\mathbf{R})$, the group of isometries of the hyperbolic plane. Goldman observed that the Teichmüller space, the parameter space of marked complex structures on $S$ can be identified with a connected component of the character variety $\mathrm{Hom}(\Gamma,G)/G$, which can be selected by means of a characteristic invariant. Thanks to the work of Labourie, Burger-Iozzi-Wienhard, Fock-Goncharov, Guichard-Wienhard we now know that, surprisingly, this is a much more general phenomenon: there are many higher rank semisimple Lie groups $G$ admitting components of the character variety only consisting of injective homomorphisms with discrete image, the socalled higher Teichmüller theories.

The richness of these theories is partially due to the fact that, as for the Teichmüller space, truly different techniques can be used to study them: bounded cohomology, Higgs bundles, positivity, harmonic maps, incidence structures, geodesic currents, real algebraic geometry. In my talk I will overview a number of recent results in the field (following Labourie, Burger-Iozzi-Wienhard, Fock-Goncharov, Guichard-Wienhard, Bonahon-Dreyer, Li, Zhang, Martone-Zhang, Baraglia, Alessandrini-Li, Collier-Tholozan-Toulisse).

Discrete subgroups of semisimple Lie groups, higher Teichmüller theory, Anosov representations
Sous-groupes discrets des groupes de Lie semisimples, théorie de Teichmüller supérieure, représentations Anosov
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