SMF

Exposé Bourbaki 1162 : Transition de phase abrupte en percolation via des algorithmes randomisés (d'apràs Duminil-Copin, Raoufi et Tassion)

Exposé Bourbaki 1162 : Sharp phase transition in percolation via randomized algorithms (after Duminil-Copin, Raoufi, and Tassion)

Marie THÉRET
Exposé Bourbaki 1162 : Transition de phase abrupte en percolation via des algorithmes randomisés (d'apràs Duminil-Copin, Raoufi et Tassion)
  • Consulter un extrait
  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 60K35
  • Pages : 415-435
  • DOI : 10.24033/ast.1141

Le modèle de percolation classique est le suivant : pour un paramètre $p\in [0,1]$ fixé, chaque arête du graphe $\mathbf{Z}^d$ est conservée (resp.\ supprimée) avec probabilité $p$ (resp.\ $1-p$), indépendamment des autres. Il présente une transition de phase à un paramètre $p_c$ :  si $p<p_c$ alors p.s.\ toutes les composantes connexes sont bornées, tandis que si $p>p_c$ alors p.s.\ il existe une unique composante connexe infinie. Cette transition de phase est abrupte, au sens où pour $p<p_c$, la probabilité que l'origine du graphe soit reliée à un point à distance $n$ décroît vers $0$ exponentiellement vite en $n$. Ce résultat fondamental est connu depuis les années 80 grâce aux travaux de Menshikov et d'Aizenman et Barsky. Dans cet exposé, nous présenterons une nouvelle preuve proposée par Duminil-Copin, Raoufi et Tassion et qui utilise des arbres de décisions. Leur approche est très robuste et peut s'adapter à de nombreuses variantes du modèle dans lesquelles le caractère abrupt de la transition de phase n'était pas encore prouvé.

The classical model of percolation is the following: for a given parameter $p\in [0,1]$, each edge of the graph $\mathbf{Z}^d$ is kept (resp.\ removed) with probability $p$ (resp.\ $1-p$), independently of each other. It exhibits a phase transition, i.e., there exists a critical parameter $p_c$ such that if $p<p_c$ then a.s.\ all the connected components of the random graph defined above are bounded, whereas if $p>p_c$ then a.s.\ there exists a unique infinite connected component in this graph. This phase transition is sharp, in the sense that if $p<p_c$, the probability that the origin of the graph is connected to a vertex at distance $n$ not only converges to $0$, but it goes to $0$ exponentially fast with $n$. This fundamental result is known since the 80's thanks to a paper by Menshikov and a paper by Aizenman and Barsky. In this talk we will present a new proof of this result given by Duminil-Copin, Raoufi, and Tassion and using decision trees. Their approach is very robust and can be adapted to many variants of the percolation model for which the sharpness of the phase transition was not proved before.

Percolation, transition de phase abrupte, décroissance exponentielle, algorithme randomisé
Percolation, sharp phase transition, exponential decay, randomized algorithm
Prix
Adhérent 7 €
Non-Adhérent 10 €
Quantité
- +