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Exposé Bourbaki 1165 : Infinité d'hypersurfaces minimales en basses dimensions d'après F. C. Marques, A. A. Neves et A. Song

Exposé Bourbaki 1165 : Infinitely many minimal hypersufaces in low dimensions (after F. C. Marques, A. A. Neves, and A. Song)

Tristan RIVIÈRE
Exposé Bourbaki 1165 : Infinité d'hypersurfaces minimales en basses dimensions d'après F. C. Marques, A. A. Neves et A. Song
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 49Q05, 49Q05, 53C42, 49Q20, 49Q20, 53C22, 58E10, 58E05, 58Exx
  • Pages : 499-543
  • DOI : 10.24033/ast.1144

Une conjecture de Shing Tung Yau du début des années 80 pose le problème de l'existence d'une infinité de surfaces minimales (points critiques de la fonctionnelle d'aire) immergées dans une variété riemannienne tridimensionnelle compacte et sans bord donnée. En explorant des problèmes de minmax sur les cycles $\mathbf{Z}_2$, posés par Misha Gromov et Larry Guth, au moyen de la théorie des varifolds presque minimisants de Frederick Almgren et Jon Pitts, Fernando Codà Marques et André Neves ont apporté une réponse positive à la conjecture de Yau et sa généralisation aux hypersurfaces minimales dans le cas des variétés de dimensions inférieures ou égales à 7, tout d'abord sous des hypothèses de courbures de Ricci strictement positives puis, en collaboration avec Kei Irie, pour des métriques génériques. Enfin, en 2018, Antoine Song a résolu la conjecture dans sa plus grande généralité, pour des métriques quelconques, en dimension inférieure ou égale à 7. Dans cet exposé, nous nous efforcerons de décrire l'ensemble de ces travaux ainsi que les perspectives futures dans le calcul des variations de l'aire.

A conjecture due to  Shing Tung Yau from the early 80s addresses the existence of infinitely many immersed minimal surfaces (critical points of the area functionnal) in a given closed compact riemannian manifold of dimension 3. Exploring minmax problems on the $\mathbf{Z}_2$-cycles, raised by  Misha Gromov and Larry Guth, via the use of the theory of almost minimising varifolds by Frederick Almgren and Jon Pitts, Fernando Cod\'a Marques and Andr\'e Neves responded positively to Yau's conjecture and its generalisation to minimal hypersurfaces for the case of manifolds of dimension less than or equal to 7, first under the assumption of positive Ricci curvature, afterwards, jointly with Kei Irie, for the case of generic metrics. Lastly, in 2018, Antoine Song solved the conjecture in full generality, for any metric in dimension less than or equal to 7. In the talk we will try to describe this series of works as well as the future perspectives in the calculus of variations of the area

Surfaces minimales, géodésiques, méthodes de ninmax en géométrie, spectres non linéaires, largeurs de Gromov, lois de Weyl non linéaires, varifolds stationnaires presque minimisants, surfaces minimales à bords libres, conjecture de Yau sur les surfaces minimales
Minimal surfaces, geodesics, minmax methods in geometry, non-linear spectra, Gromov widths, non-linear Weyl laws, almost-minimizing stationary varifolds, free boundary minimal surfaces, Yau's conjecture on minimal surfaces
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