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Exposé Bourbaki 1164 : Homologie des espaces de Hurwitz et l'heuristique de Cohen-Lenstra pour les corps de fonctions (d'après Ellenberg, Venkatesh et Westerland)

Exposé Bourbaki 1164 : Homology of Hurwitz spaces and the Cohen-Lenstra heuristic for function fields (after Ellenberg, Venkatesh, and Westerland)

Oscar RANDAL-WILLIAMS
Exposé Bourbaki 1164 : Homologie des espaces de Hurwitz et l'heuristique de Cohen-Lenstra pour les corps de fonctions (d'après Ellenberg, Venkatesh et Westerland)
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G20, 11S31, 55R80, 20J05, 14H10
  • Pages : 469-497
  • DOI : 10.24033/ast.1143

Ellenberg, Venkatesh et Westerland ont établi une forme faible de l'analogue pour les corps de fonctions de l'heuristique de Cohen-Lenstra, concernant la distribution des corps de nombres imaginaires dont la partie $\ell$-primaire du groupe de corps de classes est isomorphe à un groupe fixé. Ils expliquent en premier lieu comment cela suit d'un comptage asymptotique des points de certains schémas de Hurwitz, puis établissent ce comptage asymptotique en se basant sur la formule des traces de Grothendieck-Lefschetz pour le convertir en une question difficile de stabilité homologique en topologie algébrique, à laquelle ils répondent néanmoins positivement. J'expliquerai leurs arguments, en insistant sur leur spectaculaire théorème de stabilité homologique pour les espaces de Hurwitz.

Ellenberg, Venkatesh, and Westerland have established a weak form of the function field analogue of the Cohen-Lenstra heuristic, on the distribution of imaginary number fields with $\ell$-parts of their class groups isomorphic to a fixed group. They first explain how this follows from an asymptotic point count for certain Hurwitz schemes, and then establish this asymptotic by using the Grothendieck-Lefschetz trace formula to translate it into a difficult homological stability problem in algebraic topology, which they nonetheless solve. I will explain their argument, focussing on their remarkable homological stability theorem for Hurwitz spaces.

Espace de Hurwitz, groupes de tresses, statistique arithmétique, stabilité homologique, complétion en groupe, dualité de Koszul
Hurwitz space, Braid groups, arithmetic statistics, homological stability, group-completion, Koszul duality
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