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Exposé Bourbaki 1161 : La fonction zêta de Riemann dans les petits intervalles (d'après Najnudel, et Arguin, Belius, Bourgade, Radziwiłł, et Soundararajan)

Exposé Bourbaki 1161 : The Riemann zeta function in short intervals after Najnudel, and Arguin, Belius, Bourgade, Radziwiłł, and Soundararajan

Adam HARPER
Exposé Bourbaki 1161 : La fonction zêta de Riemann dans les petits intervalles (d'après Najnudel, et Arguin, Belius, Bourgade, Radziwiłł, et Soundararajan)
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11M06; 11-02, 11K99, 60G70
  • Pages : 391-414
  • DOI : 10.24033/ast.1140

Une idée classique pour étudier le comportement de fonctions compliquées, comme la fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$, est d'examiner leurs moyennes. Par exemple, les intégrales sur $T \leq t \leq 2T$ de différentes puissances de $\zeta(1/2+it)$, parfois multipliées par une fonction auxiliaire choisie astucieusement, ont été analysées de façon poussée pour obtenir des bornes inférieures et supérieures sur le module maximum de $\zeta(1/2+it)$. Plus récemment, Fyodorov et Keating ont entrepris cette étude sur des intervalles bien plus courts $T \leq t \leq T+1$. Il s'avère que cela mène à des liens intéressants avec différents problèmes en théorie des nombres, en analyse, en physique mathématique et en probabilités, comme par exemple les marches aléatoires avec branchement et le chaos multiplicatif. Je tâcherai d'expliquer certains de ces liens, certaines idées des démonstrations et ce que cela nous dit sur la fonction zêta.

A classical idea for studying the behaviour of complicated functions, like the Riemann zeta function $\zeta(s)$, is to investigate averages of them. For example, the integrals over $T \leq t \leq 2T$ of various powers of $\zeta(1/2+it)$, sometimes multiplied by some other cleverly chosen function, have been investigated extensively to deduce upper and lower bounds for the maximum size of $\zeta(1/2+it)$. More recently, Fyodorov and Keating have proposed the investigation of much shorter integrals over $T \leq t \leq T+1$. This turns out to lead to interesting connections between various issues in number theory, analysis, mathematical physics and probability, such as branching random walk and multiplicative chaos. I will try to explain some of these connections, ideas from the proofs, and what they tell us about the zeta function.

Fonction zêta de Riemann, produit eulérien, grandes valeurs, conjecture de Fyodorov-Hiary-Keating, corrélations logarithmiques
Riemann zeta function, Euler product, large values, Fyodorov--Hiary--Keating conjecture, logarithmic correlations
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