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Exposé Bourbaki 1155 : La conjecture des compagnons d'après Deligne, Drinfeld, L., Lafforgue, T., Abe, ...

Exposé Bourbaki 1155 : On the companions conjecture (after Deligne, Drinfeld, Lafforgue, Abe, ...)

Anna CADORET
Exposé Bourbaki 1155 : La conjecture des compagnons d'après Deligne, Drinfeld, L., Lafforgue, T., Abe, ...
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14F20
  • Pages : 173-223
  • DOI : 10.24033/ast.1134

La conjecture de Deligne dite des compagnons (1980) décrit l'image essentielle des foncteurs de réalisation $\ell$ adiques (on autorise $\ell=p$) sur la catégorie hypothétique des motifs purs de Grothendieck lorsque le corps de base est fini de caractéristique $p$.  Pour les courbes, c'est une conséquence de la correspondance de Langlands pour les corps de fonctions (le rôle des motifs étant joué par certaines représentations automorphes) démontrée par Drinfeld en rang 2, Lafforgue en rang quelconque, et Abe pour $\ell=p$. En dimension supérieure, il n'y a pas d'analogue de la correspondance de Langlands et la stratégie est plutôt de se ramener au cas des courbes par des méthodes géométriques. De telles méthodes ont été développées dans des travaux récents de Deligne, Drinfeld et, pour $\ell=p$, de Abe-Esnault/Kedlaya permettant de compléter en grande partie la preuve de la conjecture en dimension supérieure. L'exposé présentera un état des lieux de la conjecture en s'attachant plus particulièrement à décrire ces méthodes géométriques.

Deligne's companions conjecture (1980) describes the essential image of $\ell$-adic realisation functors (we allow $\ell=p$) on the hypothetical category of Grothendieck's pure motives when the base field is finite of characteristic~$p$. For curves, this is a consequence of the Langlands correspondence for function fields (the role of motives being played by certain automorphic representations) proved by Drinfeld in rank~2, by Lafforgue in arbitrary rank, and by Abe for $\ell=p$. In higher dimension, there is no analogue of the Langlands correspondence and the strategy consists rather in bringing the problem down to the case of curves by geometric methods. Such methods have been developed in recent works by Deligne, Drinfeld and, for $\ell=p$, by Abe-Esnault/Kedlaya, culminating in the proof of a large part of the conjecture in higher dimension. The talk will present the state of the art of the conjecture insisting in particular on the description of these geometric methods.

Géométrie arithmétique sur les corps finis, faisceaux $\ell$-adiques, isocristaux, motifs, représentations automorphes
Arithmetic geometry over finite fields, $\ell$-adic sheaves, isocrystals, motives, automorphic representations
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