Exposé Bourbaki 1153 : Normalité asymptotique des vecteurs propres d'un graphe régulier aléatoire d'après Ágnes Backhausz et Balázs Szegedy
Exposé Bourbaki 1153 : Asymptotic normality of eigenvectors of $d$-regular random graphs, after Ágnes Backhausz et Balázs Szegedy
Astérisque | Exposés Bourbaki | 2020
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- Année : 2020
- Tome : 422
- Format : Électronique
- Langue de l'ouvrage :
Français - Class. Math. : 05C80; 60B20
- Pages : 109-147
- DOI : 10.24033/ast.1132
Soit $P$ l'ensemble des matrices symétriques de taille $n$ avec des entrées dans $\{0, 1\}$, nulles sur la diagonale et dont la somme de chaque ligne est égale à $d$ (avec $dn$ pair). Un élément de $P$ est la matrice d'adjacence d'un graphe simple à $n$ sommets et $d$-régulier. Soient $A$ une matrice aléatoire uniforme sur $P$ et $v$ un vecteur propre orthogonal au vecteur constant. Dans l'asymptotique où $d$ est fixé et $n$ tend vers l'infini, Backhausz et Szegedy ont notamment montré que la distribution des entrées du vecteur $v$ est proche en loi d'une gaussienne. Leur preuve se base sur la convergence locale des graphes et la théorie de l'information.
Graphes réguliers aléatoires, vecteurs propres, fonctions propres aléatoires gaussiennes