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Exposé Bourbaki 1154 : Espaces et groupes non exacts admettant un plongement grossier dans un espace de Hilbert d'après Arzhantseva, Guentner, Osajda, Špakula

Exposé Bourbaki 1154 : Non-exact groups and spaces admitting a coarse embedding into a Hilbert space (after Arzhantseva, Guentner, Osajda, Špakula)

Ana KHUKHRO
Exposé Bourbaki 1154 : Espaces et groupes non exacts admettant un plongement grossier dans un espace de Hilbert d'après Arzhantseva, Guentner, Osajda, Špakula
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20F69, 20F06, 46B85, 20F65, 05C25
  • Pages : 149-172
  • DOI : 10.24033/ast.1133

Dans l'étude des espaces métriques, c'est souvent la structure géométrique grossière qui joue un rôle important. La théorie géométrique des groupes a permis d'étudier efficacement les groupes en tant qu'objets géométriques via leurs graphes de Cayley et dès lors, les propriétés géométriques grossières des groupes ont eu des implications profondes sur plusieurs conjectures importantes en topologie et en analyse. Une façon de créer des exemples de groupes intéressants pour ces conjectures est d'utiliser la théorie de la petite simplification pour plonger dans les graphes de Cayley de ces groupes des suites de graphes finis dont on peut contrôler la géométrie. Pour ce faire, il est crucial d'avoir une source riche d'exemples de suites de graphes finis avec des propriétés particulières. Ces dernières peuvent également être construites à l'aide de groupes, en prenant une suite de graphes de Cayley de quotients finis d'un groupe et en utilisant les liens entre les propriétés du groupe et les propriétés géométriques de ces graphes. Une telle construction d'Arzhantseva-Guentner-Špakula utilisant les revêtements et les espaces à murs a été utilisée par Osajda, se basant sur les travaux de Arzhantseva-Osajda, pour montrer l'existence de groupes non exacts admettant un plongement grossier dans un espace de Hilbert.

In the study of metric spaces, it is often the coarse geometric structure that plays a crucial role. Geometric group theory has helped us effectively study groups as geometric objects via their Cayley graphs and since, coarse geometric properties of groups have had profound implications for several important conjectures in topology and analysis. One way to create examples of groups of interest for these conjectures is to use small cancellation theory to embed sequences of finite graphs whose coarse geometry we can control into the Cayley graphs of groups. To achieve this, it is vital to have a rich source of examples of sequences of finite graphs with certain properties. These can also be constructed with the help of groups, by taking a sequence of Cayley graphs of finite quotients of a group, and exploiting the connections between group-theoretic properties and geometric properties of these graphs. Such a construction of Arzhantseva-Guentner-Špakula, involving covering spaces and spaces with walls, has been used by Osajda, together with previous work of Arzhantseva-Osajda, to prove the existence of non-exact groups admitting a coarse embedding into a Hilbert space.

Théorie de la petite simplification, groupes non exacts, plongements grossiers, propriété A, propriété de Haagerup
Small cancellation theory, non-exact groups, coarse embeddings, property A, Haagerup property
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