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Exposé Bourbaki 1156 : C*-simplicité (d'après Kalantar, Kennedy, Breuillard, Ozawa et Haagerup)

Exposé Bourbaki 1156 : C*-simplicity (after Breuillard, Haagerup, Kalantar, Kennedy and Ozawa)

Sven RAUM
Exposé Bourbaki 1156 : C*-simplicité (d'après Kalantar, Kennedy, Breuillard, Ozawa et Haagerup)
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  • Année : 2020
  • Tome : 422
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 46L35; 20F65, 37A55, 43A07
  • Pages : 225-252
  • DOI : 10.24033/ast.1135

Un groupe est dit $\mathrm C^*$-simple si sa $\mathrm C^*$-algèbre réduite est simple. Cet exposé commence par un résumé d'histoire de la $\mathrm C^*$-simplicité avant 2014, l'année de la découverte par Kalantar-Kennedy que deux frontières d'un groupe sont tout à fait les mêmes : celle de Furstenberg, provenant de la dynamique topologique, et celle de Hamana, provenant des algèbres d'opérateurs. Cette découverte fournissait l'outil principal du travail de Breuillard-Kalantar-Kennedy-Ozawa qui a résolu la majorité des problèmes classiques dans le domaine de la $\mathrm C^*$-simplicité. L'interaction fascinante entre les groupes, les algèbres d'opérateurs, la théorie des représentations et la dynamique topologique est présente dans ce travail. L'exposé finit avec une explication des travaux de Kennedy et de Haagerup, qui connectent ces développements récents avec les idées originales du domaine autour de la propriété de Dixmier et du radical moyennable.

A group is said to be $\mathrm C^*$-simple if its reduced $\mathrm C^*$-algebra is simple. This talk will start with a short history of $\mathrm C^*$-simplicity before 2014, the year of the discovery by Kalantar-Kennedy that two boundaries of a group are exactly the same: the Furstenberg boundary, coming from topological dynamics, and the Hamana boundary, coming from operator algebras. This discovery supplies the main tool in the work of Breuillard-Kalantar-Kennedy-Ozawa that solves most classical problems in the domain of $\mathrm C^*$-simplicity. The fascinating interaction between groups, operator algebras, representation theory, and topological dynamics is present in this work. The talk ends with an explanation of the work of Kennedy and Haagerup which makes the connection between these recent developments and original ideas in the area around Dixmier's property and the amenable radical.

Groupe discret, C*-algèbre de groupe réduite, simplicité frontière de Furstenberg, représentation de Koopman
Discrete group, reduced group C*-algebra, simplicity, Furstenberg boundary, Koopman representation
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