Soit $J(q) = (1/q) +744+196884q+\cdots$ la fonction modulaire. La question, posée par Mahler et Manin, de la transcendance de $J(q)$ quand $q$ est un nombre algébrique, $0 < |q| < 1$, a été résolue en 1995 par K. Barré-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain et G. Philibert. Soient $P, Q, R$ les séries d'Eisenstein de poids 2, 4 et 6 respectivement. En 1996, Yu.V. Nesterenko démontre que pour tout nombre complexe $q \in \mathbf {C}, 0 < |q| < 1$, trois au moins des nombres $q,P(q),Q(q),R(q)$ sont algébriquement indépendants. Il en résulte que les trois nombres $\pi , e^\pi$ et $\Gamma (1/4)$ sont algébriquement indépendants.