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Exposé Bourbaki 824 : Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires

Michel WALDSCHMIDT
Exposé Bourbaki 824 : Sur la nature arithmétique des valeurs de fonctions modulaires
     
                
  • Année : 1997
  • Tome : 245
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11J91, 11F11, 14H52, 33B15, 33E05
  • Pages : 105-140
  • DOI : 10.24033/ast.390

Soit $J(q) = (1/q) +744+196884q+\cdots $ la fonction modulaire. La question, posée par Mahler et Manin, de la transcendance de $J(q)$ quand $q$ est un nombre algébrique, $0 < |q| < 1$, a été résolue en 1995 par K. Barré-Sirieix, G. Diaz, F. Gramain et G. Philibert. Soient $P, Q, R$ les séries d'Eisenstein de poids 2, 4 et 6 respectivement. En 1996, Yu.V. Nesterenko démontre que pour tout nombre complexe $q \in \mathbf {C}, 0 < |q| < 1$, trois au moins des nombres $q,P(q),Q(q),R(q)$ sont algébriquement indépendants. Il en résulte que les trois nombres $\pi , e^\pi $ et $\Gamma (1/4)$ sont algébriquement indépendants.


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