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Exposé Bourbaki 867 : La correspondance de McKay

Exposé Bourbaki 867 : La correspondance de McKay

Miles REID
Exposé Bourbaki 867 : La correspondance de McKay
  • Année : 2002
  • Tome : 276
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14xx
  • Pages : 53-72
  • DOI : 10.24033/ast.517

Soit $M$ une variété quasi-projective lisse avec $K_M=0$ et $G$ un groupe fini d'automorphismes de $M$ agissant trivialement sur la e canonique (par exemple, un sous-groupe $G\subset {\rm SL}(n,{\bf C})$ agissant sur ${\bf C}^n$). On se propose d'étudier la variété quotient $X=M/G$ et ses résolutions $Y\to X$ (surtout quand $Y$ a toujours $K_Y=0$) en termes de la géométrie équivariante de $M$ sous $G$. On connaît 4 ou 5 méthodes très différentes qui répondent à la question, tirées de la théorie des cordes, de la géométrie algébrique, des motifs, de la théorie des modules, des catégories dérivées, etc. Dans le cas où $G\subset {\rm SL}(n,{\bf C})$, avec $n=2$ ou $3$, on retrouve plusieurs façons de bricoler une base de la cohomologie de $Y$ en cycles algébriques en bijection avec les représentations de $G$.

Let $M$ be a quasiprojective algebraic manifold with $K_M=0$ and $G$ a finite automorphism group of $M$ acting trivially on the canonical $K_M$ ; for example, a subgroup $G$ of $\operatorname {SL}(n,\mathbb C)$ acting on $\mathbb C^n$ in the obvious way. We aim to study the quotient variety $X=M/G$ and its resolutions $Y\to X$ (especially under the assumption that $Y$ has $K_Y=0$) in terms of $G$-equivariant geometry of $M$. At present we know $4$ or $5$ quite different methods of doing this, taken from string theory, algebraic geometry, motives, moduli, derived categories, etc. For $G$ in $\operatorname {SL}(n,\mathbb C)$ with $n=2$ or $3$, we obtainseveral methods of cobbling together a basis of the homology of $Y$ consisting of algebraic cycles in one-to-one correspondence with the conjugacy es or the irreducible representations of $G$.

Action de groupes, $K$-theorie, catégorie dérivée, variété quotiente, résolution des singularités, intégration motivique, correspondance de McKay, schémas de Hilbert de $G$-orbites
Group action, $K$-theory, derived category, quotient variety, resolution of singularity, motivic integration, McKay correspondence, Hilbert schemes of $G$-orbits
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