La géométrie d'Arakelov étudie les fibrés vectoriels sur une variété algébrique $X$ définie sur les entiers, munis d'une métrique hermitienne lisse sur le fibré holomorphe associé (sur la variété analytique des points complexes de $X$). Un théorème de « Riemann-Roch arithmétique » calcule le covolume du réseau euclidien des sections globales d'un tel fibré. Dans cette formule, le genre de Todd comporte un terme complémentaire, défini par une série formelle dont les coefficients font intervenir les valeurs aux entiers négatifs impairs de la dérivée de la fonction zêta de Riemann (cf. exposé numéro 731 de ce séminaire). Si un schéma en groupes finis $G$ agit sur $X$, il existe aussi un énoncé équivariant, concernant les fibrés hermitiens munis d'une action de $G$. Ce théorème de « Lefschetz arithmétique » est dû à K. Köhler et D. Roessler, qui s'appuient sur des travaux de J.-M. Bismut et al. Dans cet énoncé, la correction au genre de Todd fait intervenir les valeurs entières de la dérivée des fonctions $L$ de Dirichlet. En spécialisant le théorème de Lefschetz arithmétique au cas de l'action des racines de l'unité sur une variété abélienne à multiplication complexe, ces auteurs obtiennent une nouvelle démonstration (aux mauvais facteurs près) de la formule ique de Chowla-Selberg qui exprime les périodes d'une courbe elliptique CM comme produit de valeurs de la fonction gamma en des nombres rationnels, et des généralisations de cette formule dues à B. Gross, G. Anderson et P. Colmez. V. Maillot et D. Roessler ont montré récemment que la méthode vaut pour toute variété (tout motif) à multiplication complexe. Ils confirment ainsi (en dimension deux par exemple) la conjecture de P. Deligne et B. Gross selon laquelle les périodes d'un tel motif sont des produits des valeurs en zéro de la dérivée de certaines fonctions $L$ de Dirichlet.