La conjecture $abc$ prévoit une borne supérieure de la hauteur d'un point algébrique sur la droite projective en termes de son discriminant et de son intersection, comptée sans multiplicités, avec un diviseur fixé. On donnera un aperçu des deux différentes démonstrations de cette conjecture sur des corps des fonctions trouvées par McQuillan et Yamanoi. La première démonstration s'appuie sur des outils de géometrie différentielle et algébrique, tandis que la deuxième utilise des méthodes de topologie et d'analyse. Elles correspondent respectivement à l'approche de Nevanlinna et à celle d'Ahlfors à la preuve du deuxième théorème fondamental de la théorie de Nevanlinna.