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Exposé Bourbaki 992 : Grands graphes planaires aléatoires et carte brownienne

Exposé Bourbaki 992 : Large random planar maps, and the Brownian map

Vincent BEFFARA
Exposé Bourbaki 992 : Grands graphes planaires aléatoires et carte brownienne
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  • Année : 2009
  • Tome : 326
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 05C12, 05C80, 60B05, 60F17.
  • Pages : 299-320
  • DOI : 10.24033/ast.849

La mécanique statistique en dimension deux a toujours été une importante source d'inspiration tant pour les mathématiciens que pour les physiciens ; un outil important dans sa compréhension, et qui est longtemps resté mystérieux, est la gravitation quantique, qui consiste à rendre le graphe sous-jacent (sur lequel le modèle est défini) lui-même aléatoire. Pour pouvoir passer à la limite thermodynamique, il est alors nécessaire de comprendre le comportement asymptotique de tels graphes planaires aléatoires quand leur volume tend vers l'infini. On présentera les travaux récents de J.-F. Le Gall dans ce domaine, et en particulier le résultat fondamental suivant : soit $G_n$ une quadrangulation aléatoire de la sphère, choisie uniformément parmi les quadrangulations à $n$ faces ; on munit $G_n$ de sa distance de graphe renormalisée par un facteur $n^{-1/4}$. Alors, toute limite en loi d'une sous-suite de $(G_n)$ (pour la topologie de Gromov-Hausdorff) est homéomorphe à une sphère.

Two-dimensional statistical mechanics have long been an important source of inspiration to both mathematicians and physicists ; an important tool in its understanding, and which remains quite mysterious, is known as quantum gravity and amounts to letting the underlying graph (on which a random model is defined) random itself. Taking a thermodynamical limit then involves understanding the asymptotic behavior of such a random graph as its volume tends to infinity. We will present recent work by J.-F. Le Gall in this direction, focussing on the following fundamental result (joint with F. Paulin) : For each $n>0$, let $G_n$ be a uniformly random quadrangulation of the sphere into $n$ faces, equipped with its graph distance multiplied by a factor $n^{-1/4}$. Then, any subsequential limit in distribution of the sequence $(G_n)$ (for the Gromov-Hausdorff topology) is homeomorphic to the $2$-sphere.

Arbres aléatoires, arbres aléatoires continus, carte brownienne.
Random maps, random trees, continuum random trees, Brownian map.

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