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Exposé Bourbaki 995 : Amalgames de Hrushovski

Exposé Bourbaki 995 : Hrushovski's amalgams

Bruno POIZAT
Exposé Bourbaki 995 : Amalgames de Hrushovski
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  • Année : 2009
  • Tome : 326
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 03CXX.
  • Pages : 379-386
  • DOI : 10.24033/ast.852

En 1989, Ehud Hrushovski a introduit une sorte de construction par amalgamation qui a servi depuis à fabriquer de nombreux exemples et contre-exemples en théorie des modèles, les plus sophistiqués étant dus à Hrushovski lui-même. Dans mon exposé, je présenterai deux d'entre eux, qui sont des objets très naturels du point de vue géométrique, si bien que leur exposé ne nécessite pas de connaissances en logique mathématique. Le premier est la limite des courbes génériques : une courbe plane de degré $d$ est dite générique si elle est définie par un polynôme de degré $d$ dont les coefficients sont algébriquement indépendants ; quand on fait tendre $d$ vers l'infini, on obtient quelque chose, une courbe non algébrique qui satisfait une contrainte de type schanuélien. Le deuxième est la fausse exponentielle de Zilber, définie sur le corps des complexes, et obtenue en amalgamant des homomorphismes de $k^+$ dans $k^*$ qui satisfont à l'hypothèse de Schanuel, où les $k$ sont des corps de caractéristique nulle ; la conjecture (ou, du moins, la question) de Zilber, c'est qu'elle est isomorphe à la vraie exponentielle.

In 1988, Ehud Hrushovski introduced a new construction by amalgamation which has been used since to produce sophisticated examples and counter-examples in the branch of Mathematical Logic which is called Model Theory. We present here two such examples which have a strong algebraic flavour ; the first one is what we obtain at the limit, when the degree $d$ tends to infinity, from planes curves defined by a polynomial equation of degree $d$ with algebraically independent coefficients ; the second one is Zil'ber's fake exponential, which satisfies Schanuel's Conjecture, and possibly all the algebraic properties of the true complex exponential, and may be even isomorphic to it !

Amalgames, variétés algébriques, exponentielle complexe, conjecture de Schanuel.
Amalgams, algebraic varieties, complex exponential function, Schanuel's conjecture.

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