Nous étudions les intégrales oscillantes en dimension infinie avec une phase de croissance polynomiale à petit paramètre $\epsilon \in \mathbb {R} ^+$ au moyen d'une technique de prolongement analytique. Nous donnons aussi leur développement asymptotique en $\epsilon $ lorsque $\epsilon \downarrow 0$. Nous présentons une application de ces résultats à l'étude du comportement semi ique de la trace du noyau de la chaleur avec un potentiel polynomial.