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Exposé Bourbaki 991 : Courants d'Ahlfors et localisation des courbes entières

Exposé Bourbaki 991 : Ahlfors' currents and parabolicity of their singularities

Mihai PAUN
Exposé Bourbaki 991 : Courants d'Ahlfors et localisation des courbes entières
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  • Année : 2009
  • Tome : 326
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 05C05, 30D45, 32U40, 32U45, 32Q30, 53C23.
  • Pages : 281-298
  • DOI : 10.24033/ast.848

Soit $(\Delta _k)$ une suite divergente de disques holomorphes dans une variété complexe compacte $X$. Le lemme ique de Brody montre qu'une telle suite engendre une courbe entière non-constante $\varphi : {\mathbb C}\to X$, via un procédé de reparamétrisation. On remarque qu'on ne peut pas localiser a priori la courbe $\varphi $, dans le sens suivant : supposons que tous les disques précédents passent par un point $x\in X$ ; en général, l'image de la courbe $\varphi $ ne contient pas $x$. Le très beau résultat de J. Duval présenté dans notre texte utilise un courant d'Ahlfors $T$ induit par $(\Delta _k)$ afin d'obtenir un « lemme de Brody » quantitatif, comme suit : soit $K\subset X$ un ensemble compact, chargé par $T$ ; alors il existe une courbe entière intersectant $K$ selon un ensemble d'aire positive. Cet énoncé est plus complet que les conjectures formulées dans les développements récents de l'hyperbolicité complexe ; on espère qu'il aura des applications très importantes dans un futur proche.

Let $(\Delta _k)$ be a divergent sequence of holomorphic discs in a compact complex manifold $X$. The ical Brody lemma shows that this sequence produces an entire map $\varphi : {\mathbb C}\to X$ (via a reparametrization procedure). However, one cannot localize the image of $\varphi $, in the following sense : assume all the discs above are passing through a fixed point $x\in X$, then the image of the curve $\varphi $ may not contain $x$. The beautiful result of J. Duval we discuss in our text uses an Ahlfors current $T$ induced by $(\Delta _k)$, in order to obtain the following quantitative version of the Brody lemma : let $K\subset X$ be a compact set charged by the current $T$ ; then there exists an entire map intersecting $K$ along a set whose area is positive. This result is far better than the conjectures formulated by the experts in the field, and it is rather safe to predict that it will have important applications in the future.

Hyperbolicité au sens complexe, lemme de Brody, courants d'Ahlfors, conjecture de Green-Griffiths, compacité à la Gromov, inégalité isopérimétrique.
Complex hyperbolicity, Brody lemma, Ahlfors currents, Green-Griffiths conjecture, Gromov compactness, Isoperimetric inequality.

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