Sur une surface $M$ compacte orientable de genre $\geq 2$, on cherche une métrique isosystolique extrémale : c'est une métrique riemannienne d'aire la plus petite possible sous la contrainte que la systole, i.e. la courbe fermée lisse non contractible de longueur minimale, soit un nombre positif fixé. Le problème géométrique est transformé en un problème analytique en le réduisant à la résolution d'une équation aux dérivées partielles non-linéaire à frontière libre. Des exemples sont donnés pour illustrer des candidats possibles à être solution du problème dans des cas particuliers.