Nous considérons l'inégalité de Hardy-Sobolev optimale sur un domaine borné régulier de l'espace euclidien. Cette inégalité se situe entre l'inégalité de Hardy et celle de Sobolev. Nous abordons la question de l'optimalité des constantes attachées à cette inégalité ainsi que l'existence de solutions extrémales non triviales. Quand la singularité de la partie Hardy de l'inégalité est localisée sur le bord du domaine, la géométrie du domaine joue un rôle crucial : en particulier la convexité et la courbure moyenne sont impliquées dans ces questions. La principale difficulté à contourner est la possibilité d'existence de phénomène de concentration. Nous décrivons précisément ce type de phénomène par des estimées de concentration fines. Une ramification de ces techniques nous permet de fournir des propriétés générales de compacité pour des équations non linéaires, sous des conditions de courbure sur le bord.