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Familles de déploiement en cohomologie galoisienne

Splitting families in Galois cohomology

Cyril DEMARCHE & Mathieu FLORENCE
Familles de déploiement en cohomologie galoisienne
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 3
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12G05, 14L30; 14F20, 18E30
  • Pages : 779-792
  • DOI : 10.24033/asens.2470

Soit $k$ un corps, de groupe de Galois absolu $\Gamma$. Soit $A/k$ un schéma en groupes fini étale de type multiplicatif, i.e., un $\Gamma$-module fini discret. Soit $n \geq 2$ un entier, et $x in H^n(k,A)$ une classe de cohomologie. On montre qu'il existe un ensemble dénombrable $I$, et une famille  $(X_i)_{i \in I}$ de $k$-variétés (lisses, géométriquement intègres) telles que : pour toute extension de corps $\ell/k$, la restriction de $x$ s'annule dans $H^n(\ell,A)$ si et seulement si (au moins) une des $X_i$ a un $\ell$-point. De plus, on montre qu'on peut choisir les $X_i$ pour qu'elles forment une ind-variété. Dans le cas $n=2$, on remarque qu'une seule variété suffit.

Let $k$ be a field, with absolute Galois group $\Gamma$. Let $A/k$ be a finite étale group scheme of multiplicative type, i.e., a finite discrete $\Gamma$-module. Let $n \geq 2$ be an integer, and let ${x \in H^n(k,A)}$ be a cohomology class. We show that there exists a countable set $I$, and a family  $(X_i)_{i \in I}$ of (smooth, geometrically integral) $k$-varieties, such that the following holds: for any field extension $\ell/k$, the restriction of $x$ vanishes in $H^n(\ell,A)$  if and only if (at least) one of the $X_i$ has an $\ell$-point. In addition, we show that the $X_i$ can be made into an ind-variety. In the case $n=2$, we note that one variety is enough.

Cohomologie galoisienne, variétés de déploiement, torseurs, extensions à la Yoneda
Galois cohomology, splitting varieties, torsors, Yoneda extensions
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