SMF

Générateurs explicites de certains sous-groupes pro-$p$ via la théorie de Bruhat-Tits

Explicit generators of some pro-$p$ groups via Bruhat-Tits theory

Benoit LOISEL
Générateurs explicites de certains sous-groupes pro-$p$ via la théorie de Bruhat-Tits
  • Consulter un extrait
  • Année : 2021
  • Fascicule : 2
  • Tome : 149
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 20G25, 20E18, 20E42, 20F05, 17B22
  • Pages : 309-388
  • DOI : 10.24033/bsmf.2831

Etant donné un groupe semi simple sur un corps local de caractéristique résiduelle $p$, le groupe topologique de ses points rationnels admet des sous-groupes pro-$p$ maximaux.

Grâce à la théorie de Bruhat-Tits, ceux des groupes semisimples simplement connexes quasi-déployés peuvent être décrits en des termes combinatoires de donnée radicielle de groupes valuée.

Dans ce contexte, il devient possible de calculer explicitement un ensemble minimal de générateurs des sous-groupes pro-$p$ maximaux (tous conjugués) grâce aux paramétrisations d'un tore maximal convenable et des groupes radiciels correspondants.

On montre que le nombre minimal de générateurs est alors linéaire en le rang d'un système de racines  convenable.

Given a semisimple group over a local field of residual characteristic $p$, its topological group of rational points admits maximal pro-$p$ subgroups.

The maximal pro-$p$ subgroups of quasisplit simply connected semisimple groups can be described in the combinatorial terms of a valued root groups datum, thanks to the Bruhat--Tits theory.

In this context, it becomes possible to compute explicitly a minimal generating set of the (all conjugated) maximal pro-$p$ subgroups thanks to parametrizations of a suitable maximal torus and of the corresponding root groups.

We show that the minimal number of generators is then linear with respect to the rank of a suitable root system.

Groupes profinis, Immeubles, Groupes algébriques linéaires, Corps locaux, Présentations finies
Profinite groups, Buildings, Linear algebraic groups, Local fields, Finite presentations
Prix
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +