SMF

Fluctuations en petits temps des ponts de diffusions sous-riemanniennes

Small-time fluctuations for the bridge of a sub-Riemannian diffusion

Ismäel BAILLEUL, Laurent MESNAGER & James NORRIS
Fluctuations en petits temps des ponts de diffusions sous-riemanniennes
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 3
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 58G32, 53B21, 60F05, 60H07
  • Pages : 549-586
  • DOI : 10.24033/asens.2465

Ce travail traite de l'asymptotique en petit temps de processus de diffusions conditionnés par leurs positions initiale et finale, sous l'hypothèse que la diffusivité a une structure sous-riemannienne, possiblement de rang non constant. On démontre que les fluctuations de la diffusion conditionnée, convenablement rééchelonnée, convergent vers une limite gaussienne, lorsque les positions initiale et finale sont reliées par un unique chemin d'énergie minimale et sont situées hors du cut-locus sous-riemannien. La limite gaussienne est caractérisée en terme du flot bicaractéristique, ainsi qu'en terme de la variation seconde de l'énergie au voisinage d'un chemin minimal, sous une forme nouvelle dans ce contexte.

We consider small-time asymptotics for diffusion processes conditioned by their initial and final positions, under the assumption that the diffusivity has a sub-Riemannian structure, not necessarily of constant rank. We show that, if the endpoints are joined by a unique path of minimal energy, and lie outside the sub-Riemannian cut locus, then the fluctuations of the conditioned diffusion from the minimal energy path, suitably rescaled, converge to a Gaussian limit.
The Gaussian limit is characterized in terms of the bicharacteristic flow, and also in terms of a second variation of the energy functional at the minimal path, the formulation of which is new in this context.

Pont brownien, calcul de Malliavin, géométrie sous-riemannienne
Brownian bridge, Malliavin calculus, sub-Riemannian geometry
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