Nous introduisons une nouvelle méthode pour prouver les théorèmes limites centraux pour la marche aléatoire sur groupes nilpotents. La méthode est illustrée dans un théorème de la limite centrale locale sur le groupe Heisenberg, affaiblissant les conditions nécessaires sur la mesure sous-jacente. Comme deuxième illustration, la méthode est utilisée pour étudier les marches aléatoires sur le groupe triangulaire des matrices uni-supérieures $n\times n$ avec des entrées prises modulo $p$. La méthode permet des réponses précises sur le comportement des coordonnées individuelles: les coordonnées immédiatement au-dessus de la diagonale nécessitent un ordre $p^2$ pour devenir aléatoire, les coordonnées sur la deuxième diagonale nécessitent un ordre de $p$ pas pour converger; les coordonnées sur la $k$-ième diagonale nécessitent un ordre de magnitude de $p ^{\frac2k}$ pas.