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Marche aléatoire sur les groupes de matrices unipotents

Random walk on unipotent matrix groups

Persi DIACONIS & Robert HOUGH
Marche aléatoire sur les groupes de matrices unipotents
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 3
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60F05, 60B15, 20B25, 22E25, 60J10, 60E10, 60F25, 60G42
  • Pages : 587-625
  • DOI : 10.24033/asens.2466

Nous introduisons une nouvelle méthode pour prouver les théorèmes limites centraux pour la marche aléatoire sur groupes nilpotents. La méthode est illustrée dans un théorème de la limite centrale locale sur le groupe Heisenberg, affaiblissant les conditions nécessaires sur la mesure sous-jacente. Comme deuxième illustration, la méthode est utilisée pour étudier les marches aléatoires sur le groupe triangulaire des matrices uni-supérieures $n\times n$ avec des entrées prises modulo $p$. La méthode permet des réponses précises sur le comportement des coordonnées individuelles: les coordonnées immédiatement au-dessus de la diagonale nécessitent un ordre $p^2$ pour devenir aléatoire, les coordonnées sur la deuxième diagonale nécessitent un ordre de $p$ pas pour converger; les coordonnées sur la $k$-ième diagonale nécessitent un ordre de magnitude de $p ^{\frac2k}$ pas.

We introduce a new method for proving central limit theorems for random walk on nilpotent groups.  The method is illustrated in a local central limit theorem on the Heisenberg group, weakening the necessary conditions on the driving measure. As a second illustration, the method is used to study  walks on the $n\times n$ uni-upper triangular group with entries taken modulo $p$. The method allows sharp answers to the behavior of individual coordinates: coordinates immediately above the diagonal require order $p^2$ steps for randomness, coordinates on the second diagonal require order $p$ steps; coordinates on the $k$th diagonal require order $p^{\frac{2}{k}}$ steps.

Marche aléatoire sur un groupe, groupe de Heisenberg, théorème local limite, groupe unipotent
Random walk on a group, Heisenberg group, local limit theorem, unipotent group
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