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Géométries projectives associées aux problèmes de type Elekes-Szabó

Projectives geometries arising from Elekes-Szabó problems

Martin BAYS & Emmanuel BREUILLARD
Géométries projectives associées aux problèmes de type Elekes-Szabó
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 3
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 52C10, 03C98
  • Pages : 627-681
  • DOI : 10.24033/asens.2467

Nous généralisons le théorème de Elekes-Szabó au cas d'un produit cartésien quelconque de variétés de dimension arbitraire et nous caractérisons les sous-variétés algébriques complexes sans gain d'exposant. La caractérisation fait intervenir certains sous-groupes algébriques de groupes algébriques commutatifs munis d'une structure supplémentaire associée à un corps gauche d'endomorphismes. Nous étendons aussi le phénomène somme-produit de Erd\H{o}s-Szemerédi au cas des courbes elliptiques. Notre approche est fondée sur le formalisme des dimensions pseudo-finies de Hrushovski et sur la version abélienne du théorème de la configuration de groupe.

We generalize the Elekes-Szabó theorem to arbitrary arity and dimension and characterize the complex algebraic varieties without power saving. The characterization involves certain algebraic subgroups of commutative algebraic groups endowed with an extra structure arising from a skew field of endomorphisms. We also extend the Erd\H{o}s-Szemerédi sum-product phenomenon to elliptic curves. Our approach is based on Hrushovski's framework of pseudo-finite dimensions and the abelian group configuration theorem.

Elekes-Szabó, dimensions pseudo-finies, configuration de groupe, géométries projectives, groupes algébriques commutatifs, Kaplansky-Amitsur, somme-produit
Elekes-Szabó, pseudo-finite dimensions, group configuration, projective geometries, commutative algebraic groups, Kaplansky-Amitsur, sum-product
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