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Géometrie hyperbolique et espace des modules des surfaces cubiques réelles

Hyperbolic geometry and moduli of real cubic surfaces

Daniel Allcock, James A. Carlson, Domingo Toledo
Géometrie hyperbolique et espace des modules des surfaces cubiques réelles
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  • Année : 2010
  • Tome : 43
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J15; 14P99, 20F55, 22E40
  • Pages : 69-115
  • DOI : 10.24033/asens.2116
On note $\mathcal {M} _0^\mathbb {R} $ l'espace des modules des surfaces cubiques réelles lisses. Nous montrons que chacune de ses composantes admet une structure hyperbolique réelle. Plus précisément, en enlevant de l'espace hyperbolique réel $H^4$ certaines sous-variétés totalement géodésiques de dimension inférieure, puis en prenant le quotient par un groupe arithmétique, on obtient une orbifold isomorphe à une composante de l'espace des modules. Il y a cinq composantes. Nous décrivons le réseau de ${\rm PO}(4,1)$ qui correspond à chacune d'entre elles. Nous démontrons également quelques résultats sur la topologie de $\mathcal {M} _0^\mathbb {R} $, dont certains sont nouveaux. On note $\mathcal {M} _s^\mathbb {R} $ l'espace des modules des surfaces cubiques réelles qui sont stables au sens de la théorie géométrique des invariants. Nous montrons que cet espace admet une structure hyperbolique dont la restriction à $\mathcal {M} _0^\mathbb {R} $ est celle évoquée ci-dessus. Nous décrivons un domaine fondamental pour le réseau correspondant de ${\rm PO}(4,1)$, qui s'avère être non arithmétique.
Let $\mathcal {M} _0^\mathbb {R} $ be the moduli space of smooth real cubic surfaces. We show that each of its components admits a real hyperbolic structure. More precisely, one can remove some lower-dimensional geodesic subspaces from a real hyperbolic space $H^4$ and form the quotient by an arithmetic group to obtain an orbifold isomorphic to a component of the moduli space. There are five components. For each we describe the corresponding lattices in ${\rm PO} (4,1)$. We also derive several new and several old results on the topology of $\mathcal {M} _0^\mathbb {R} $. Let $\mathcal {M} _s^\mathbb {R} $ be the moduli space of real cubic surfaces that are stable in the sense of geometric invariant theory. We show that this space carries a hyperbolic structure whose restriction to $\mathcal {M} _0^\mathbb {R} $ is that just mentioned. The corresponding lattice in ${\rm PO} (4,1)$, for which we find an explicit fundamental domain, is nonarithmetic.
Surfaces cubiques, espaces des modules, géométrie algébrique réelle, géométrie hyperbolique, groupes arithmétiques, groupes de Coxeter, uniformisation
Cubic surface, moduli, real agebraic geometry, hyperbolic geometry, arithmetic groups, Coxeter groups, uniformization
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