SMF

La droite de Berkovich sur $\mathbf {Z}$

The Berkovich Line over $\mathbf {Z}$

Jérôme Poineau
  • Année : 2010
  • Tome : 334
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 14G22, 14G25, 30B10, 13E05, 12F12
  • Nb. de pages : xii+284
  • ISBN : 978-2-85629-294-5
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.810
Ce texte est consacré à l'étude de la droite de Berkovich au-dessus d'un anneau d'entiers de corps de nombres. Cet objet géométrique contient naturellement des copies de la droite analytique complexe (ou de son quotient par la conjugaison), associées aux places infinies, et des droites de Berkovich iques au-dessus de corps ultramétriques complets, associées au places finies. Nous montrons qu'il jouit de bonnes propriétés, topologiques aussi bien qu'algébriques. Nous exhibons également quelques espaces de Stein naturels contenus dans cette droite. Nous proposons des applications de cette théorie à l'étude des séries arithmétiques convergentes : prescription de zéros et de pôles, noethérianité d'anneaux globaux et problème inverse de Galois. Des exemples typiques de telles séries sont fournis par les fonctions holomorphes sur le disque unité ouvert complexe dont le développement en $0$ est à coefficients entiers.
This text is devoted to the study of the Berkovich line over the ring of integers of a number field. It is a geometric object which naturally contains complex analytic lines (or their quotient by conjugation), associated to the infinite places, and ical Berkovich lines over complete valued fields, associated to the finite places. We prove that it satisfies nice properties, both from the topological and algebraic points of view. We also provide a few examples of Stein spaces that are contained in this line. We explain how this theory may applied to adress various questions about convergent arithmetic power series : prescribing zeroes and poles, proving that global rings are Noetherian or constructing Galois groups over them. Typical examples of such series are given by holomorphic functions on the complex open unit disc whose Taylor developments in $0$ have integer coefficients.
Espaces de Berkovich, géométrie analytique globale, séries arithmétiques convergentes, noethérianité, problème inverse de Galois
Berkovich spaces, global abalytic gelmetry, convergent arithmetic series, noetherianity, Galois inverse problem
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