Nous généralisons en dimension supérieure un théorème d'Amoroso et Zannier concernant le problème de Lehmer relatif. Nous minorons la hauteur d'un point d'un tore en fonction de son indice d'obstruction sur $\mathbb Q^{\mathrm {ab}} $, l'extension abélienne maximale de $\mathbb Q $, à condition qu'il ne soit pas contenu dans une sous-variété de torsion de petit degré. Nous en déduisons une minoration du minimum essentiel d'une sous-variété non contenue dans un sous-groupe algébrique propre en fonction de son indice d'obstruction sur $\mathbb Q^{\mathrm {ab}} $. Nous montrons ainsi, à un epsilon près, les conjectures les plus fines qui peuvent être formulées dans ce cadre.