SMF

Groupes sans réalisations galoisiennes paramétriques

Groups with no parametric Galois realizations

Pierre Dèbes
Groupes sans réalisations galoisiennes paramétriques
  • Consulter un extrait
  • Année : 2018
  • Tome : 51
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12F12, 11R58, 14E20; 14E22, 12E30, 11Gxx.
  • Pages : 143-179
  • DOI : 10.24033/asens.2353
Nous réfutons une forme forte du problème inverse de Galois régulier : il existe des groupes finis $G$ qui n'ont pas de réalisation régulière $F/\mathbb Q (T)$ induisant toutes les extensions galoisiennes $L/\mathbb Q (U)$ de groupe $G$ par spécialisation de $T$ en $f(U) \hskip -1mm \in \hskip -1mm \mathbb Q (U)$. Une propriété de relèvement bien plus faible est même infirmée pour ces groupes : deux réalisations $L/\mathbb Q (U)$ existent qui ne peuvent être induites par des réalisations ayant le même type de ramification. Nos exemples de tels groupes $G$ incluent les groupes symétriques $S_n$, $n\geq 6$, une infinité de ${\rm PSL}_2(\mathbb F _p)$, le Monstre. Deux variantes de la question, où $\mathbb Q (U)$ est remplacé par $\mathbb C (U)$ et $\mathbb Q $, ont une réponse similaire, la seconde sous une « hypothèse de travail » liée à un problème de Fried-Schinzel. Nous introduisons deux nouveaux outils : un théorème de comparaison entre les invariants d'une extension $F/\mathbb C (T)$ et ceux de celle obtenue en spécialisant $T$ en $f(U) \hskip -1mm \in \hskip -1mm \mathbb C (U)$ ; et, étant données deux extensions régulières galoisiennes de $k(T)$, un ensemble fini de $k(U)$-courbes qui disent si ces extensions ont une spécialisation commune $E/k$.
We disprove a strong form of the Regular Inverse Galois Problem : there exist finite groups $G$ which do not have a $\mathbb Q (U)$-parametric extension, i.e., a regular realization $F/\mathbb Q (T)$ that induces all Galois extensions $L/\mathbb Q (U)$ of group $G$ by specializing $T$ to $f(U) \hskip -1mm \in \hskip -1mm \mathbb Q (U)$. A much weaker Lifting Property is even disproved for these groups : two realizations $L/\mathbb Q (U)$ exist that cannot be induced by realizations with the same ramification type. Our examples of such groups $G$ include symmetric groups $S_n$, $n\geq 6$, infinitely many ${\rm PSL}_2(\mathbb F _p)$, the Monster. Two variants of the question with $\mathbb Q (U)$ replaced by $\mathbb C (U)$ and $\mathbb Q $ are answered similarly, the second one under a diophantine ‘working hypothesis' going back to a problem of Fried-Schinzel. We introduce two new tools : a comparison theorem between the invariants of an extension $F/\mathbb C (T)$ and those obtained by specializing $T$ to $f(U) \hskip -1mm \in \hskip -1mm \mathbb C (U)$ ; and, given two regular Galois extensions of $k(T)$, a finite set of $k(U)$-curves that say whether these extensions have a common specialization $E/k$.
Extensions galoisiennes, théorie inverse de Galois, spécialisation, extensions paramétriques, twisting.
Galois extensions, inverse Galois theory, specialization, parametric extensions, twisting.
Prix
Adhérent 14 €
Non-Adhérent 20 €
Quantité
- +