Soit $X:\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma \to \mathbb {R}^2$ une application $C^1$, où $\sigma >0$ et $\overline {D}_\sigma = \{p\in \mathbb {R}^2 : \vert \vert p \vert \vert \le \sigma \}$. (i) Si pour un $\varepsilon >0$ et pour tout $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma ,$ aucune valeur propre de $DX(p)$ n'appartient à $(-\varepsilon , \infty )$, alors il existe $s \ge \sigma $ tel que $X|_{\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_s}$ est injective. (ii) Si pour un $\varepsilon >0$ et pour tout $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma ,$ aucune valeur propre de $DX(p)$ n'appartient à $(-\varepsilon , 0]\cup \{ z\in \mathbb {C}: \Re (z)\ge 0 \}$, alors il existe $p_0\in \mathbb {R}^2$ tel que le point $\infty $ de la sphère de Riemann $\mathbb {R}^2\cup \{\infty \}$ soit un attracteur ou un repulseur de $x'= X(x) + p_0$.