Injectivity of $C^1$ maps $\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}^2$ at inﬁnity and planar vector ﬁelds

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Injectivité d'applications $C^1$ de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}^2$ à l'inﬁni et de champs de vecteurs dans le plan

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Carlos GUTIERREZ, Alberto SARMIENTO

Astérisque | 2003

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Année : 2003
Tome : 287
Format : Électronique
Langue de l'ouvrage :
Anglais
Class. Math. : 37E35, 37C10
Pages : 89-102
DOI : 10.24033/ast.591

Soit $X:\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma \to \mathbb {R}^2$ une application $C^1$ , où $\sigma >0$ et $\overline {D}_\sigma = \{p\in \mathbb {R}^2 : \vert \vert p \vert \vert \le \sigma \}$ . (i) Si pour un $\varepsilon >0$ et pour tout $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma ,$ aucune valeur propre de $DX(p)$ n'appartient à $(-\varepsilon , \infty )$ , alors il existe $s \ge \sigma$ tel que $X|_{\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_s}$ est injective. (ii) Si pour un $\varepsilon >0$ et pour tout $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma ,$ aucune valeur propre de $DX(p)$ n'appartient à $(-\varepsilon , 0]\cup \{ z\in \mathbb {C}: \Re (z)\ge 0 \}$ , alors il existe $p_0\in \mathbb {R}^2$ tel que le point $\infty$ de la sphère de Riemann $\mathbb {R}^2\cup \{\infty \}$ soit un attracteur ou un repulseur de $x'= X(x) + p_0$ .