SMF

Injectivité d'applications $C^1$ de $\mathbb {R}^2$ dans $\mathbb {R}^2$ à l'infini et de champs de vecteurs dans le plan

Injectivity of $C^1$ maps $\mathbb {R}^2\to \mathbb {R}^2$ at infinity and planar vector fields

Carlos GUTIERREZ, Alberto SARMIENTO
     
                
  • Année : 2003
  • Tome : 287
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37E35, 37C10
  • Pages : 89-102
  • DOI : 10.24033/ast.591

Soit $X:\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma \to \mathbb {R}^2$ une application $C^1$, où $\sigma >0$ et $\overline {D}_\sigma = \{p\in \mathbb {R}^2 : \vert \vert p \vert \vert \le \sigma \}$. (i) Si pour un $\varepsilon >0$ et pour tout $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma ,$ aucune valeur propre de $DX(p)$ n'appartient à $(-\varepsilon , \infty )$, alors il existe $s \ge \sigma $ tel que $X|_{\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_s}$ est injective. (ii) Si pour un $\varepsilon >0$ et pour tout $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma ,$ aucune valeur propre de $DX(p)$ n'appartient à $(-\varepsilon , 0]\cup \{ z\in \mathbb {C}: \Re (z)\ge 0 \}$, alors il existe $p_0\in \mathbb {R}^2$ tel que le point $\infty $ de la sphère de Riemann $\mathbb {R}^2\cup \{\infty \}$ soit un attracteur ou un repulseur de $x'= X(x) + p_0$.

Let $X:\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma \to \mathbb {R}^2$ be a $C^1$ map, where $\sigma >0$ and $\overline {D}_\sigma = \{ p\in \mathbb {R}^2 : \vert \vert p \vert \vert \le \sigma \}$. (i) If for some $\varepsilon >0$ and for all $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma $, no eigenvalue of $DX(p)$ belongs to $(-\varepsilon , \infty )$, there exists $s \ge \sigma $, such that $X|_{\mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_s}$ is injective ; (ii) If for some $\varepsilon >0$ and for all $p\in \mathbb {R}^2\smallsetminus \overline {D}_\sigma $, no eigenvalue of $DX(p)$ belongs to $(-\varepsilon , 0]\cup \{ z\in \mathbb {C}: \Re (z)\ge 0 \}$, there exists $p_0\in \mathbb {R}^2$ such that the point $\infty $, of the Riemann sphere $\mathbb {R}^2\cup \{\infty \},$ is either an attractor or a repellor of $x'= X(x) + p_0$.

Injectivité, composante de Reeb, champs de vecteurs
Injectivity, Reeb component, vector fields


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