Soit $S$ une surface de Riemann. Soit $\mathbb H^3$ l'espace hyperbolique de dimension $3$ et soit $\partial _\infty \mathbb H^3$ son bord à l'infini. Dans le cadre de cet article, un problème de Plateau est une application localement holomorphe $\varphi :S\rightarrow \partial _\infty \mathbb H^3=\hat {\mathbb C}$. Si $i:S\rightarrow \mathbb H^3$ est une immersion convexe, et si $N$ est son champ de vecteurs normal, on définit $\hat \imath $, la relevée de Gauss de $i$, par $\hat \imath =N$. Soit $\overrightarrow {n}:U\mathbb H^3\rightarrow \partial _\infty \mathbb H^3$ l'application de Gauss-Minkowski. Une solution au problème de Plateau $(S,\varphi )$ est une immersion convexe $i$ à courbure gaussienne constante égale à $k\in \mathopen ]0,1\mathclose [$ telle que sa relevée de Gauss $(S,\hat \imath )$ soit complète en tant que sous-variété immergée et que $\overrightarrow {n}\circ \hat \imath =\varphi $. Dans cet article, on montre que, si $S$ est une surface de Riemannn compacte, si $\mathcal P$ est un sous-ensemble discret de $S$ et si $\varphi :S\rightarrow \hat {\mathbb C}$ est un revêtement ramifié, alors, pour tout $p_0\in \mathcal P$, la solution $(S\setminus \mathcal P,i)$ au problème de Plateau $(S\setminus \mathcal P,\varphi )$ converge asymptotiquement vers un cylindre qui s'enroule un nombre fini $k$ de fois autour d'une géodésique ayant $\varphi (p_0)$ pour une de ses extrémités lorsqu'on s'approche de $p_0$. De plus, $k$ est égale à l'ordre de ramification de $\varphi $ en $p_0$. On obtient également une réciproque de ce résultat nous permettant de décrire entièrement les surfaces complètes immergées dans $\mathbb H^3$ à courbure gaussienne constante et aux bouts cylindriques.