SMF

$k$-surfaces à points

Pointed $k$-surfaces

Graham Smith
$k$-surfaces à points
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  • Année : 2006
  • Fascicule : 4
  • Tome : 134
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53C42 (30F60, 32Q65, 51M10, 53C45, 53D10, 58D10
  • Pages : 509-557
  • DOI : 10.24033/bsmf.2521
Soit $S$ une surface de Riemann. Soit $\mathbb H^3$ l'espace hyperbolique de dimension $3$ et soit $\partial _\infty \mathbb H^3$ son bord à l'infini. Dans le cadre de cet article, un problème de Plateau est une application localement holomorphe $\varphi :S\rightarrow \partial _\infty \mathbb H^3=\hat {\mathbb C}$. Si $i:S\rightarrow \mathbb H^3$ est une immersion convexe, et si $N$ est son champ de vecteurs normal, on définit $\hat \imath $, la relevée de Gauss de $i$, par $\hat \imath =N$. Soit $\overrightarrow {n}:U\mathbb H^3\rightarrow \partial _\infty \mathbb H^3$ l'application de Gauss-Minkowski. Une solution au problème de Plateau $(S,\varphi )$ est une immersion convexe $i$ à courbure gaussienne constante égale à $k\in \mathopen ]0,1\mathclose [$ telle que sa relevée de Gauss $(S,\hat \imath )$ soit complète en tant que sous-variété immergée et que $\overrightarrow {n}\circ \hat \imath =\varphi $. Dans cet article, on montre que, si $S$ est une surface de Riemannn compacte, si $\mathcal P$ est un sous-ensemble discret de $S$ et si $\varphi :S\rightarrow \hat {\mathbb C}$ est un revêtement ramifié, alors, pour tout $p_0\in \mathcal P$, la solution $(S\setminus \mathcal P,i)$ au problème de Plateau $(S\setminus \mathcal P,\varphi )$ converge asymptotiquement vers un cylindre qui s'enroule un nombre fini $k$ de fois autour d'une géodésique ayant $\varphi (p_0)$ pour une de ses extrémités lorsqu'on s'approche de $p_0$. De plus, $k$ est égale à l'ordre de ramification de $\varphi $ en $p_0$. On obtient également une réciproque de ce résultat nous permettant de décrire entièrement les surfaces complètes immergées dans $\mathbb H^3$ à courbure gaussienne constante et aux bouts cylindriques.
Let $S$ be a Riemann surface. Let $\mathbb {H}^3$ be the $3$-dimensional hyperbolic space and let $\partial _\infty \mathbb {H}^3$ be its ideal boundary. In our context, a Plateau problem is a locally holomorphic mapping $\varphi :S\rightarrow \partial _\infty \mathbb {H}^3=\widehat {\mathbb {C}}$. If $i:S\rightarrow \mathbb {H}^3$ is a convex immersion, and if $N$ is its exterior normal vector field, we define the Gauss lifting, $\hat {\imath }$, of $i$ by $\hat {\imath }=N$. Let $\overrightarrow {n}:U\mathbb H^3\rightarrow \partial _\infty \mathbb H^3$ be the Gauss-Minkowski mapping. A solution to the Plateau problem $(S,\varphi )$ is a convex immersion $i$ of constant Gaussian curvature equal to $k\in (0,1)$ such that the Gauss lifting $(S,\hat {\imath })$ is complete and $\overrightarrow {n}\circ \hat \imath =\varphi $. In this paper, we show that, if $S$ is a compact Riemann surface, if $\mathcal {P}$ is a discrete subset of $S$ and if $\varphi :S\rightarrow \widehat {\mathbb {C}}$ is a ramified covering, then, for all $p_0\in \mathcal {P}$, the solution $(S\setminus \mathcal {P},i)$ to the Plateau problem $(S\setminus \mathcal {P},\varphi )$ converges asymptotically as one tends to $p_0$ to a cylinder wrapping a finite number, $k$, of times about a geodesic terminating at $\varphi (p_0)$. Moreover, $k$ is equal to the order of ramification of $\varphi $ at $p_0$. We also obtain a converse of this result, thus completely describing complete, constant Gaussian curvature, immersed hypersurfaces in $\mathbb {H}^3$ with cylindrical ends.
Hypersurfaces immergées, courbes pseudo-holomorphes, problème de Plateau, courbure gaussienne, théorie de Teichmüller
Immersed hypersurfaces, pseudo-holomorphic curves, contact geometry, Plateau problem, Gaussian curvature, hyperbolic space, moduli spaces, Teichmüller theory
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