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Linéarisation des germes : dépendance régulière du multiplicateur

Linearization of germs: regular dependence on the multiplier

Stefano Marmi, Carlo Carminati
Linéarisation des germes : dépendance régulière du multiplicateur
  • Année : 2008
  • Fascicule : 4
  • Tome : 136
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37F50 ; 37F25
  • Pages : 533-564
  • DOI : 10.24033/bsmf.2565

On montre que la linéarisation d’un germe d’application holomorphe du type $F_\lambda(z)=\lambda(z+O(z^2))$ a une dépendence $\mathcal{C}^1$-holomorphe du multiplicateur \lambda. Les fonctions $\mathcal{C}^1$-holomorphes sont $\mathcal{C}^1$au sens de Whitney, elles sont définies sur des compacts et elles appartiennent au noyau de l’operateur $\bar\partial$.

La linéarisation est analytique pour $|\lambda|\ne1$ et le cercle $\mathbb{S}^1$ est sa frontière naturelle (due aux résonances, c’est-à-dire les racines de l’unité). Neamoins la linéarisation est encore définie dans la plupart des points de $\mathbb{S}^1$, plus précisement aux points qui se trouvent « assez loin des résonances » et qui correspondent à des conditions arithmétiques adéquates imposées au multiplicateur. Nous construisons une suite croissante d’ensembles compacts qui évitent les résonances et nous démontrons que la linéarisation appartient aux espaces associés aux fonctions $\mathcal{C}^1$-holomorphes. C’est un cas particulier de la théorie des fonctions monogènes uniformes de Borel [2], et les espaces de fonctions correspondants sont quasi-analytiques par chemins [11]. Comme conséquence nous montrons que la linéarisation a un développement asymptotique en $(\lambda − \lambda_0)$ dans tous les points $\lambda_0\in\mathbb{S}^1$ qui verifient la condition de Brjuno. En effet le developpement est du type Gevrey aux points diophantiens.

We prove that the linearization of a germ of holomorphic map of the type $F_\lambda(z)=\lambda(z+O(z^2))$ has a $\mathcal{C}^1$-holomorphic dependence on the multiplier \lambda. $\mathcal{C}^1$-holomorphic functions are $\mathcal{C}^1$-Whitney smooth functions, defined on compact subsets and which belong to the kernel of the $\bar\partial$ operator.

The linearization is analytic for $|\lambda|\ne1$ and the unit circle $\mathbb{S}^1$ appears as a natural boundary (because of resonances, i.e. roots of unity). However the linearization is still defined at most points of $\mathbb{S}^1$, namely those points which lie “far enough from resonances”, i.e. when the multiplier satisfies a suitable arithmetical condition. We construct an increasing sequence of compacts which avoid resonances and prove that the linearization belongs to the associated spaces of $\mathcal{C}^1$-holomorphic functions. This is a special case of Borel’s theory of uniform monogenic functions [2], and the corresponding function space is arcwise-quasianalytic [11]. Among the consequences of these results, we can prove that the linearization admits an asymptotic expansion w.r.t. the multiplier at all points of the unit circle verifying the Brjuno condition: in fact the asymptotic expansion is of Gevrey type at diophantine points.

Petits diviseurs, linéarisation, fonctions monogènes, espace quasi-analytique, développement asymptotique, condition diophantienne
Small divisors, linearization, monogenic functions, quasianalytic space, asymptotic expansion, diophantine condition
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