SMF

Permutations et matrices aléatoires, intégrales matricielles et systèmes intégrables

Random matrices and permutations, matrix integrals and integrable systems

Pierre VAN MOERBEKE
Permutations et matrices aléatoires, intégrales matricielles et systèmes intégrables
  • Année : 2002
  • Tome : 276
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 15A52, 37K10
  • Pages : 411-433
  • DOI : 10.24033/ast.529
La distribution statistique de la longueur de la plus longue sous-suite croissante d'une permutation aléatoire est liée à certaines intégrales matricielles sur les groupes (SO$(n)$ ou SU$(n)$), par la correspondance de Robinson-Shensted-Knuth. Après insertion de paramètres « temps », les intégrales ainsi obtenues satisfont non seulement à des équations linéaires (contraintes de Virasoro), mais aussi à des équations non-linéaires intégrables (réseau de Toda et autres). Ceci montre que la fonction génératrice de la distribution ci-dessus satisfait à l'équation de Painlevé $V$. Cette problématique est également liée à la question du spectre de matrices aléatoires.
This lecture present a survey of recent developments in the area of random matrices (finite and infinite) and random permutations. These probabilistic problems suggest matrix integrals (or Fredholm determinants), which arise very naturally as integrals over the tangent space to symmetric spaces, as integrals over groups and finally as integrals over symmetric spaces. Upon apropriately adding time-parameters, these matrix integrals are natural tau-functions for integrable lattices, like the Toda, Pfaff and Toeplitz lattices, but also for integrable PDE's, like the Korteweg-de Vries equation. These matrix integrals or Fredholm determinants also satisfy Virasoro constraints, which combined with the integrable equations lead to (partial) differential equations for the original probabilities.
Matrices aléatoires, permutations aléatoires, systèmes intégrables et équations de Painlevé
Random matrices, random permutations, integrable systems and Painlevé equations
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