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Une introduction à la théorie de Teichmüller $p$-adique

An Introduction to $p$-adic Teichmüller Theory

Shinichi MOCHIZUKI
Une introduction à la théorie de Teichmüller $p$-adique
  • Année : 2002
  • Tome : 278
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14H10, 14F30
  • Pages : 1-50
  • DOI : 10.24033/ast.532

Dans cet article, nous présentons une théorie concernant l'uniformisation et les espaces de modules des courbes hyperboliques $p$-adiques. D'une part, cette théorie étend aux places non archimédiennes les uniformisations de Fuchs et Bers et les espaces de modules des courbes hyperboliques complexes. Pour cette raison, nous désignerons souvent cette théorie sous le nom de théorie de Teichmüller $p$-adique. D'autre part, cette théorie peut être vue comme un analogue hyperbolique de la théorie de Serre-Tate pour les variétés abéliennes ordinaires et leurs espaces de modules. L'objet au centre de la théorie de Teichmüller $p$-adique est le champ des modules des « nilcurves ». Ce champ est un recouvrement plat du champ des modules de courbes hyperboliques en caractéristique $p$. Il paramètre les courbes hyperboliques munies de « données auxiliaires d'uniformisation en caractéristique $p$ ». La géométrie de ce champ de modules peut s'analyser de manière combinatoire au voisinage de l'infini. D'autre part, une analyse globale de sa géométrie mène à une démonstration de l'irréductibilité du champ des modules de courbes hyperboliques via des méthodes de caractéristique $p$. Diverses parties de ce champ des « nilcurves » admettent des relèvements canoniques au-dessus desquels on obtient des coordonnées canoniques et des représentations galoisiennes canoniques. Ces coordonnées canoniques sont l'analogue, pour les courbes hyperboliques, des coordonnées canoniques dans la théorie de Serre-Tate et l'analogue $p$-adique des coordonnées de Bers dans la théorie de Teichmüller. De plus, les représentations galoisiennes qui apparaissent éclairent d'un jour nouveau l'action extérieure du groupe de Galois d'un corps local sur le complété profini du groupe de Teichmüller.

In this article, we survey a theory, developed by the author, concerning the uniformization of $p$-adic hyperbolic curves and their moduli. On the one hand, this theory generalizes the Fuchsian and Bers uniformizations of complex hyperbolic curves and their moduli to nonarchimedean places. It is for this reason that we shall often refer to this theory as $p$-adic Teichmüller theory, for short. On the other hand, this theory may be regarded as a fairly precise hyperbolic analogue of the Serre-Tate theory of ordinary abelian varieties and their moduli. The central object of $p$-adic Teichmüller theory is the moduli stack of nilcurves. This moduli stack forms a finite flat covering of the moduli stack of hyperbolic curves in positive characteristic. It parametrizes hyperbolic curves equipped with auxiliary “uniformization data in positive characteristic.” The geometry of this moduli stack may be analyzed combinatorially locally near infinity. On the other hand, a global analysis of its geometry gives rise to a proof of the irreducibility of the moduli stack of hyperbolic curves using positive characteristic methods. Various portions of this stack of nilcurves admit canonical $p$-adic liftings, over which one obtains canonical coordinates and canonical $p$-adic Galois representations. These canonical coordinates form the analogue for hyperbolic curves of the canonical coordinates of Serre-Tate theory and the $p$-adic analogue of the Bers coordinates of Teichmüller theory. Moreover, the resulting Galois representations shed new light on the outer action of the Galois group of a local field on the profinite completion of the Teichmüller group.

Courbe hyperbolique, champ de modules, uniformisation fuchsienne, uniformisation de Bers, $p$-adique, théorie de Serre-Tate, relèvement canonique, représentation galoisienne, action extérieure de Galois, groupe de Teichmüller
Hyperbolic curve, moduli stack, uniformization theory, Fuchsian uniformization, Bers uniformization, $p$-adic, Serre-Tate theory, canonical liftings, Galois representations, outer Galois actions, Teichmüller group
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