Dans cet article, nous présentons une théorie concernant l'uniformisation et les espaces de modules des courbes hyperboliques $p$-adiques. D'une part, cette théorie étend aux places non archimédiennes les uniformisations de Fuchs et Bers et les espaces de modules des courbes hyperboliques complexes. Pour cette raison, nous désignerons souvent cette théorie sous le nom de théorie de Teichmüller $p$-adique. D'autre part, cette théorie peut être vue comme un analogue hyperbolique de la théorie de Serre-Tate pour les variétés abéliennes ordinaires et leurs espaces de modules. L'objet au centre de la théorie de Teichmüller $p$-adique est le champ des modules des « nilcurves ». Ce champ est un recouvrement plat du champ des modules de courbes hyperboliques en caractéristique $p$. Il paramètre les courbes hyperboliques munies de « données auxiliaires d'uniformisation en caractéristique $p$ ». La géométrie de ce champ de modules peut s'analyser de manière combinatoire au voisinage de l'infini. D'autre part, une analyse globale de sa géométrie mène à une démonstration de l'irréductibilité du champ des modules de courbes hyperboliques via des méthodes de caractéristique $p$. Diverses parties de ce champ des « nilcurves » admettent des relèvements canoniques au-dessus desquels on obtient des coordonnées canoniques et des représentations galoisiennes canoniques. Ces coordonnées canoniques sont l'analogue, pour les courbes hyperboliques, des coordonnées canoniques dans la théorie de Serre-Tate et l'analogue $p$-adique des coordonnées de Bers dans la théorie de Teichmüller. De plus, les représentations galoisiennes qui apparaissent éclairent d'un jour nouveau l'action extérieure du groupe de Galois d'un corps local sur le complété profini du groupe de Teichmüller.