SMF

Valeurs au bord $p$-adiques

$p$-adic boundary values

Peter SCHNEIDER, Jeremy TEITELBAUM
  • Année : 2002
  • Tome : 278
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11F85, 14F40, 22E50
  • Pages : 51-125
  • DOI : 10.24033/ast.533

Nous faisons une étude détaillée de certaines représentations continues naturelles de $G = {\mathrm {GL}}(n,K)$ dans les espaces vectoriels localement convexes sur un corps non archimédien localement compact de caractéristique $0$. Nous construisons des applications “transformées intégrales” entre des sous-quotients de la duale d'une représentation “holomorphe” provenant d'un espace symétrique $p$-adique, et des représentations “de la série principale” construites à partir de fonctions localement analytiques sur $G$. Nous caractérisons l'image de chacune de nos transformées intégrales comme un espace de fonctions sur $G$ jouissant de certaines propriétés par rapport aux transformations et vérifiant un système d'équations aux dérivées partielles de type hypergéométrique. Ce travail constitue une généralisation d'un travail de Morita, qui a étudié ce genre de représentations pour le groupe ${\mathrm {SL}}(2,K)$. Notre travail étend également celui de Schneider-Stuhler sur la cohomologie de de Rham des espaces symétriques $p$-adiques. Nous le voyons comme faisant partie d'un programme général visant à développer la théorie de ce type de représentations.

We study in detail certain natural continuous representations of $G = GL_{n}(K)$ in locally convex vector spaces over a locally compact, non-archimedean field $K$ of characteristic zero. We construct boundary value maps, or integral transforms, between subquotients of the dual of a “holomorphic” representation coming from a $p$-adic symmetric space, and “principal series” representations constructed from locally analytic functions on $G$. We characterize the image of each of our integral transforms as a space of functions on $G$ having certain transformation properties and satisfying a system of partial differential equations of hypergeometric type. This work generalizes earlier work of Morita, who studied this type of representation of the group $SL_{2}(K)$. It also extends the work of Schneider-Stuhler on the De Rham cohomology of $p$-adic symmetric spaces. We view this work as part of a general program of developing the theory of such representations.

Espace symétrique $p$-adique, transformée intégrale, résidu, représentation $p$-adique
$p$-adic symmetric space, integral transform, residue, $p$-adic representation
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