Nous faisons une étude détaillée de certaines représentations continues naturelles de $G = {\mathrm {GL}}(n,K)$ dans les espaces vectoriels localement convexes sur un corps non archimédien localement compact de caractéristique $0$. Nous construisons des applications “transformées intégrales” entre des sous-quotients de la duale d'une représentation “holomorphe” provenant d'un espace symétrique $p$-adique, et des représentations “de la série principale” construites à partir de fonctions localement analytiques sur $G$. Nous caractérisons l'image de chacune de nos transformées intégrales comme un espace de fonctions sur $G$ jouissant de certaines propriétés par rapport aux transformations et vérifiant un système d'équations aux dérivées partielles de type hypergéométrique. Ce travail constitue une généralisation d'un travail de Morita, qui a étudié ce genre de représentations pour le groupe ${\mathrm {SL}}(2,K)$. Notre travail étend également celui de Schneider-Stuhler sur la cohomologie de de Rham des espaces symétriques $p$-adiques. Nous le voyons comme faisant partie d'un programme général visant à développer la théorie de ce type de représentations.