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Poids de crible et leurs lissages

Sieve weights and their smoothings

Andrew GRANVILLE, Dimitris KOUKOULOPOULOS & James MAYNARD
Poids de crible et leurs lissages
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  • Année : 2021
  • Fascicule : 5
  • Tome : 54
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11N35, 11N37; 11T06, 20B30, 05A05
  • Pages : 1089-1177
  • DOI : 10.24033/asens.2478

On obtient des formules asymptotiques pour les $2k$-ièmes moments de quelques sommes partiellement lissées de la fonction de Möbius sur les diviseurs d'un entier. Quand $2k$ est petit en comparaison avec $A$, qui est le niveau de lissage, alors la contribution principale aux moments provient des entiers n'ayant que de grands facteurs premiers, comme on l'espérait pour un poids de crible. Cependant, si $2k$ est plus grand en comparaison avec $A$, alors la contribution principale aux moments provient des entiers ayant beaucoup de facteurs premiers, ce qui n'est pas l'intention quand on crée des poids de crible. La valeur seuil pour "petit" est $A=\frac 1{2k} \binom{2k}{k}-1$.
        On peut aussi poser des questions analogues pour les polynômes sur des corps finis et pour les permutations, et dans ces cas les moments se comportent de façon assez différente, avec moins d'annulations dans les sommes de diviseurs. On donne, on espère, une explication plausible pour ce phénomène, en étudiant les sommes analogues pour les caractères de Dirichlet, et en obtenant chaque type de comportement selon le caractère  "exceptionnel" ou non.

We obtain asymptotic formulas for the $2k$th moments of partially smoothed divisor sums of the Möbius function. When $2k$ is small compared with $A$, the level of smoothing,  then the main contribution to the moments comes  from integers with only large  prime factors, as one would hope for in  sieve weights.  However if $2k$ is any larger, compared with $A$, then the main contribution to the moments comes  from integers with quite a few prime factors, which is not the intention when designing sieve weights. The   threshold for "small'' occurs when $A=\frac 1{2k} \binom{2k}{k}-1$. 
        One can ask  analogous questions for polynomials over finite fields and for permutations, and in these cases the moments  behave rather differently, with even less cancelation in the divisor sums. We give, we hope, a plausible explanation for this phenomenon, by studying the analogous sums for Dirichlet characters, and obtaining each type of behavior depending on whether or not the character is "exceptional''.

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