Le but de cet article est de généraliser géométriquement des théorèmes de Severi, Brown et Bochner portant sur le prolongement analytique des fonctions réelles analytiques qui sont holomorphes par rapport à l'une de leurs variables. Nous établissons en particulier que si $N$ est un anneau Lévi-plat réel analytique d'un ouvert de $\mathbb {R}^{n}\times \mathbb {C}^{2}$, il est possible de trouver $\mathcal {X}\subset \mathbb {R}^{n}\times \mathbb {C}^{2}$ tel que $\mathcal {X}\cup N$ soit un sous-ensemble réel analytique qui remplisse $N$ au sens où le bord du courant d'intégration porté par $\mathcal {X}$ est une sous-variété lisse de $N$ feuilletée par des courbes réelles. En outre, les fonctions réelles analytiques sur $N$ dont les restrictions aux feuilles complexes sont harmoniques se prolongent à $\mathcal {X}$ en fonction du même type. Nous donnons aussi un théorème quand le bord prescrit est un cycle.