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La correspondance de Langlands local pour $\mathrm {GL}_n$ dans les familles

The local Langlands correspondence for $\mathrm {GL}_n$ in families

Matthew Emerton, David Helm
La correspondance de Langlands local pour $\mathrm {GL}_n$ dans les familles
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  • Année : 2014
  • Tome : 47
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11S37, 11F33, 11F70, 22E50
  • Pages : 655-722
  • DOI : 10.24033/asens.2224
Soit $k$ un corps fini de caractéristique $p$ et soit $E$ un corps $\ell $-adique où $\ell \neq p$. Étant donnée une représentation $\rho : G_E \rightarrow \mathrm {GL}_n(A)$, où $A$ est une $W(k)$-algèbre locale, nous étudions le problème de la recherche de $A[\mathrm {GL}_n(E)]$-module admissible $\pi (\rho )$ qui « interpole la correspondance de Langlands locale » pour $\rho $ sur les points de $\mathrm {Spec} A$. Nous formulons une version précise de ce problème et montrons qu'il a au plus une solution, à isomorphisme près. Le premier auteur a montré [?] que lorsque $A$ est une algèbre de Hecke, et $\rho : G_{\mathbb Q _{\ell }} \rightarrow \mathrm {GL}_2(A)$ est la représentation naturelle de $G_{\mathbb {Q} _{\ell }}$ sur $A$, alors le $A[\mathrm {GL}_2(E)]$-module $\pi (\rho )$ existe et apparaît naturellement dans la cohomologie de la tour des courbes modulaires.
Let $k$ be a finite field of characteristic $p$, and let $E$ be an $\ell $-adic field for $\ell \neq p$. Given a representation $\rho : G_E \rightarrow \mathrm {GL}_n(A)$ where $A$ is a local $W(k)$-algebra, we study the problem of finding an admissible $A[\mathrm {GL}_n(E)]$-module $\pi (\rho )$ that “interpolates the local Langlands correspondence” for $\rho $ over the points of $\mathrm {Spec} A$. We formulate a precise version of this problem and show that it has at most one solution, up to isomorphism. The first author has shown [?] that when $A$ is a Hecke algebra, and $\rho : G_{\mathbb Q _{\ell }} \rightarrow \mathrm {GL}_2(A)$ is the natural representation of $G_{\mathbb {Q} _{\ell }}$ over $A$, the corresponding $A[\mathrm {GL}_n(E)]$-module $\pi (\rho )$ exists and arises naturally in the completed cohomology of the tower of modular curves.
Correspondance de Langlands locale, congruences.
Local Langlands correspondence, congruences.
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