Le cas d'égalité entre la dimension de Minkowski et la dimension de Hausdorff du graphe des fonctions à la Weierstrass, demeure toujours mystérieux. Cependant, des progrès significatifs ont été réalisés pour certains graphes autoaffines : par exemple, pour les fonctions de Rademacher, Przytycki & Urbański, montrent comment cette question est liée à l'arithmétique des nombres de Pisot-Vijayaraghavan (PV) : on retrouve alors un problème d'Erdős sur certaines convolutions d'une infinité de mesures de Bernoulli (convolutions de Bernoulli). Une question attenante est de comprendre la structure multifractale de la mesure d'Erdős i.e. la convolution de Bernoulli associée au nombre d'or : de ce point de vue, nous répondons à une question posée par Sidorov et Vershik à propos de la nature gibbsienne de la mesure d'Erdős invariante.