Dans ces notes, nous expliquons des progrès récents relatifs au prolongement analytique de formes modulaires surconvergentes $p$-adiques de Hilbert. Nous donnons des applications aux problèmes de icité de telles formes ainsi qu'à la conjecture d'Artin forte. Nous commençons par le cas usuel des formes modulaires elliptiques pour dégager les idées simples et souligner les généralisations requises. Nous nous focalisons ensuite sur le cas des formes de Hilbert lorsque le nombre premier $p$ est non ramifié dans le corps totalement réel.