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Propriétés de compacité de semigroupes sous-stochastiques perturbés dans $L^{1}$ et applications aux spectres discrets et aux trous spectraux

Compactness properties of perturbed sub-stochastic $C_{0}$-semigroups on $L^{1}(\mu )$ with applications to discreteness and spectral gaps

Mustapha Mokhtar-Kharroubi
Propriétés de compacité de semigroupes sous-stochastiques perturbés dans $L^{1}$ et applications aux spectres discrets et aux trous spectraux
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  • Année : 2016
  • Tome : 148
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 47D06, 47B07, 47B34, 47B65, 35P15
  • Nb. de pages : 87
  • ISBN : 978-2-85629-839-8
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.456
Nous traitons de $C_{0}$-semigroupes à contractions positifs $\left ( U(t)\right ) _{t\geqslant 0}\ $dans $L^{1}(\Omega ;\mathcal {A},\mu )$ de générateur $T$ où $(\Omega ;\mathcal {A},\mu )$ est un espace mesuré abstrait et donnons une approche systématique des propriétés de compacité de $C_{0}$-semigroupes perturbés $\left ( e^{t(\text {\textquotedblleft }T-V\text {\textquotedblright )}}\right ) _{t\geq 0}$ (ou de leurs générateurs) induites par des potentiels singuliers $V:(\Omega ;\mu )\rightarrow \mathbb {R}_+$. Des résultats plus précis sont donnés pour des espaces métriques mesurés $(\Omega ,d,\mu )$. Cette nouvelle construction repose sur plusieurs ingrédients : de nouvelles estimations a priori propres aux espaces $L^{1}$, des hypothèses de compacité locale faible sur les opérateurs non perturbés, des arguments de type « Dunford-Pettis » et l'hypothèse que les sous-ensembles de niveau $\Omega _{M}:=\left \{ x;V(x)\leq M\right \} $ sont « fins à l'infini par rapport à $ ( U(t) ) _{t\geqslant 0}$ ». Nous montrons aussi l'apparition de trous spectraux lorsque les sous-ensembles de niveaux $\Omega _{M}$ ne sont pas « fins à l'infini par rapport à $\left ( U(t)\right ) _{t\geqslant 0}$ ». Ce formalisme combine intimement le noyau de $\left ( U(t)\right ) _{t\geqslant 0}$ et les sous ensembles de niveau $\Omega _{M}$. Les potentiels indéfinis sont aussi traités. Des applications variées aux semigroupes de convolution, aux Laplaciens à poids et aux Laplaciens de Witten sur les 1-formes sont données.
We deal with positive $C_{0}$-semigroups $\left ( U(t)\right ) _{t\geqslant 0}$ of contractions in $L^{1}(\Omega ;\mathcal {A},\mu )$ with generator $T$ where $(\Omega ;\mathcal {A},\mu )$ is an abstract measure space and provide a systematic approach of compactness properties of perturbed $C_{0}$-semigroups $\left ( e^{t(\text {\textquotedblleft }T-V\text {\textquotedblright )}}\right ) _{t\geq 0}$ (or their generators) induced by singular potentials $V:(\Omega ;\mu )\rightarrow \mathbb {R} _{+}$. More precise results are given in metric measure spaces $(\Omega ,d,\mu )$. This new construction is based on several ingredients : new a priori estimates peculiar to $L^{1}$-spaces, local weak compactness assumptions on unperturbed operators, ‘Dunford-Pettis' arguments and the assumption that the sublevel sets $\Omega _{M}:=\left \{ x;V(x)\leq M\right \} $ are ‘thin at infinity with respect to $\left ( U(t)\right ) _{t\geqslant 0}$'. We show also how spectral gaps occur when the sublevel sets are not ‘thin at infinity'. This formalism combines intimately the kernel of $\left ( U(t)\right ) _{t\geqslant 0}$ and the sublevel sets $\Omega _{M}$. Indefinite potentials are also dealt with. Various applications to convolution semigroups, weighted Laplacians and Witten Laplacians on 1-forms are given.
Espace $L^{1}$, semigroupe d'absorption, compacité faible locale, spectre discret, trou spectral, semigroupe de convolution, Laplacien de Witten
$L^{1}$ space, absorption semigroup, local weak compactness, discrete spectrum, spectral gap, convolution semigroup, Witten Laplacian
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