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La conjecture locale de Gross-Prasad pour les représentations tempérées des groupes unitaires

Raphaël Beuzart-Plessis
La conjecture locale de Gross-Prasad pour les représentations tempérées des groupes unitaires
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  • Année : 2016
  • Tome : 149
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 22E50, 11F85, 20G05
  • Nb. de pages : 191
  • ISBN : 978-2-85629-841-1
  • ISSN : 0249-633-X
  • DOI : 10.24033/msmf.457
Soient $E/F$ une extension quadratique de corps $p$-adiques et $G=U(V)$, $H=U (W)$ les groupes unitaires de deux espaces hermitiens $V$ et $W$ sur $E$. Supposons que $V$ contienne $W$ et que le complémentaire orthogonal de $W$ dans $V$ soit quasi-déployé (ce qui signifie que son groupe unitaire est quasi-déployé sur $F$). Pour $\pi $ et $\sigma $ des représentations lisses irréductibles de $G(F)$ et $H(F)$, les auteurs Gan, Gross et Prasad ont défini une multiplicité $m(\pi ,\sigma )$. Dans le cas particulier où $W$ est de codimension $1$ dans $V$, cette multiplicité est simplement la dimension de l'espace d'entrelacements $\operatorname {Hom}_{H(F)}(\pi ,\sigma )$. On énonce et prouve une formule intégrale pour cette multiplicité lorsque $\pi $ et $\sigma $ sont tempérées. On déduit alors de cette formule une version faible de la conjecture locale de Gross-Prasad pour les représentations tempérées des groupes unitaires. Cet article est la continuation directe d'un travail récent de Waldspurger concernant les groupes spéciaux orthogonaux.
Let $E/F$ be a quadratic extension of $p$-adic fields and let $G=U(V)$, $H=U(W)$ be unitary groups of two hermitian spaces $V$ and $W$ over $E$. Assume that $V$ contains $W$ and that the orthogonal complement of $W$ in $V$ is an odd-dimensional quasisplit hermitian space (i.e. whose unitary group is quasisplit over $F$). For $\pi $ and $\sigma $ smooth irreducible representations of respectively $G(F)$ and $H(F)$, Gan, Gross and Prasad have defined a multiplicity $m(\pi ,\sigma )$. In the particular case where $W$ is of codimension $1$ in $V$, this multiplicity is just the dimension of the intertwining space $\operatorname {Hom}_{H(F)}(\pi ,\sigma )$. When $\pi $ and $\sigma $ are tempered, we state and prove an integral formula for this multiplicity. We then deduce from this formula a weak version of the local Gross-Prasad conjecture for tempered representations of unitary groups. This article represents a straight continuation of recent work of Waldspurger dealing with special orthogonal groups.
Conjecture locale de Gross-Prasad, groupes $p$-adiques, représentations tempérées
Local Gross-Prasad conjecture, $p$-adic groups, tempered representations
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