Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Soit $D_m$ un $\operatorname {BT} _m$ sur $k$ (i.e., un groupe de Barsotti–Tate tronqué en échelon $m$ sur $k$). Soient $S$ un $k$-schéma et $X$ un $\operatorname {BT} _m$ sur $S$. Soit $S_{D_m}(X)$ le sous-schéma de $S$ correspondant au lieu où $X$ est isomorphe à $D_m$ localement pour la topologie fppf. Si $p\ge 5$, nous montrons que $S_{D_m}(X)$ est pur dans $S$, i.e. l'immersion $S_{D_m}(X) \hookrightarrow S$ est affine. Pour $p\in \{2,3\}$, nous prouvons la pureté pour $D_m$ satisfaisant une certaine propriété technique dépendant uniquement de la $p$-torsion $D_m[p]$. Pour $p \ge 5$, nous utilisons les techniques développées pour montrer que toutes les stratifications par l'échelon associées aux variétés de Shimura de type Hodge sont pures.