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Pureté des stratifications par l'échelon

Purity of level $m$ stratifications

Marc-Hubert Nicole, Adrian Vasiu, Torsten Wedhorn
Pureté des stratifications par l'échelon
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  • Année : 2010
  • Tome : 43
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11E57, 11G10, 11G18, 11G25, 14F30, 14G35, 14L05, 14L15, 14L30, 14R20, 20G25
  • Pages : 925-955
  • DOI : 10.24033/asens.2136
Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$. Soit $D_m$ un $\operatorname {BT} _m$ sur $k$ (i.e., un groupe de Barsotti–Tate tronqué en échelon $m$ sur $k$). Soient $S$ un $k$-schéma et $X$ un $\operatorname {BT} _m$ sur $S$. Soit $S_{D_m}(X)$ le sous-schéma de $S$ correspondant au lieu où $X$ est isomorphe à $D_m$ localement pour la topologie fppf. Si $p\ge 5$, nous montrons que $S_{D_m}(X)$ est pur dans $S$, i.e. l'immersion $S_{D_m}(X) \hookrightarrow S$ est affine. Pour $p\in \{2,3\}$, nous prouvons la pureté pour $D_m$ satisfaisant une certaine propriété technique dépendant uniquement de la $p$-torsion $D_m[p]$. Pour $p \ge 5$, nous utilisons les techniques développées pour montrer que toutes les stratifications par l'échelon associées aux variétés de Shimura de type Hodge sont pures.
Let $k$ be a field of characteristic $p>0$. Let $D_m$ be a $\operatorname {BT} _m$ over $k$ (i.e., an $m$-truncated Barsotti–Tate group over $k$). Let $S$ be a $k$-scheme and let $X$ be a $\operatorname {BT} _m$ over $S$. Let $S_{D_m}(X)$ be the subscheme of $S$ which describes the locus where $X$ is locally for the fppf topology isomorphic to $D_m$. If $p\ge 5$, we show that $S_{D_m}(X)$ is pure in $S$, i.e. the immersion $S_{D_m}(X) \hookrightarrow S$ is affine. For $p\in \{2,3\}$, we prove purity if $D_m$ satisfies a certain technical property depending only on its $p$-torsion $D_m[p]$. For $p\ge 5$, we apply the developed techniques to show that all level $m$ stratifications associated to Shimura varieties of Hodge type are pure.
Groupes de Barsotti–Tate tronqués, schémas affines, actions de groupe, $F$-cristaux, stratifications, pureté, variétés de Shimura
Truncated Barsotti–Tate groups, affine schemes, group actions, $F$-crystals, stratifications, purity, and Shimura varieties
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