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Quelques contraintes sur les automorphismes d'entropie positive de variétés lisses projectives de dimension trois

Some constraints on positive entropy automorphisms of smooth threefolds

John LESIEUTRE
Quelques contraintes sur les automorphismes d'entropie positive de variétés lisses projectives de dimension trois
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  • Année : 2018
  • Fascicule : 6
  • Tome : 51
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14J50, 14E07, 37F99, 14E30
  • Pages : 1507-1547

Soit $X$ une variété projective lisse de dimension trois sur $C$. Nous supposons qu'il existe un automorphisme $phi: X \to X$ d'entropie positive. Quitte à remplacer $\phi$ par un de ses itérés $\phi^n$, nous montrons qu'une des affirmations suivantes sera vérifiée : i) la classe canonique de $X$ est numériquement triviale ; ii) $\phi$ est imprimitive ; iii) $\phi$ n'est pas dynamiquement minimal. Comme corollaire, nous montrons que si une variété lisse $M$ de dimension trois n'admet pas d'automorphisme primitif d'entropie positive, il en est de même pour toute variété construite par une suite d'éclatements lisses de $M$.

Notre méthode ne s'applique pas dans le cadre des variétés à singularités terminales.  Ceci sera illustré par l'exemple d'une variété uniréglée $X$ qui admet une infinité de rayons extrémaux $K_X$-négatifs sur $\overline{NE} (X)$.

Suppose that $X$ is a smooth, projective threefold over$C$ and that $\phi : X \to X$ is an automorphism of positive entropy.  We show  that one of the following must hold, after replacing $\phi$ by an iterate: i) the canonical class of$X$ is numerically trivial; ii) $\phi$ is imprimitive; iii) $\phi$ is not dynamically minimal.  As a consequence, we show that if a smooth threefold $M$ does not admit a primitive automorphism of positive entropy, then no variety constructed by a sequence of smooth blow-ups of$M$ can admit a primitive automorphism of positive entropy.

In explaining why the method does not apply to threefolds with terminal singularities, we exhibit a non-uniruled, terminal threefold $X$ with infinitely many $K_X$ -negative extremal rays on$\overline{NE}(X)$.

Automorphismes d'entropie positive, programme du modèle minimal, variétés
Positive entropy automorphisms, minimal model program, threefolds
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