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Reconstruction de potentiels non bornés dans le plan

Unbounded potential recovery in the plane

Kari Astala, Daniel Faraco, Keith M. Rogers
Reconstruction de potentiels non bornés dans le plan
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  • Année : 2016
  • Tome : 49
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35P25, 45Q05; 42B37, 35J10.
  • Pages : 1027-1051
  • DOI : 10.24033/asens.2302
Nous reconstruisons des potentiels à support compact avec une demi-derivée dans $L^2$ à partir de l'amplitude de diffusion à énergie fixe. Pour cela, nous établissons un lien entre une méthode récemment introduite par Bukhgeim pour déterminer de façon unique le potentiel à partir de l'application Dirichlet-to-Neumann, et une question de Carleson qui concerne la convergence vers la donnée initiale des solutions de l'équation de Schrödinger dépendante du temps. Nous fournissons également des exemples de potentiels à support compact, avec $s$ dérivées dans $L^2$ pour tout $s <1 / 2$, qui ne peuvent pas être reconstruits par cette méthode. Ainsi, la méthode de reconstruction a un seuil en termes de la régularité qui diffère du résultat d'unicité.
We reconstruct compactly supported potentials with only half a derivative in $L^2$ from the scattering amplitude at a fixed energy. For this we draw a connection between the recently introduced method of Bukhgeim, which uniquely determined the potential from the Dirichlet-to-Neumann map, and a question of Carleson regarding the convergence to initial data of solutions to time-dependent Schrödinger equations. We also provide examples of compactly supported potentials, with $s$ derivatives in $L^2$ for any $s<1/2$, which cannot be recovered by these means. Thus the recovery method has a different threshold in terms of regularity than the corresponding uniqueness result.
Problèmes inverses, théorie de la diffusion, convergence presque partout, Schrödinger.
Inverse problems, scattering, almost everywhere convergence, Schrödinger.
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