Nous reconstruisons des potentiels à support compact avec une demi-derivée dans $L^2$ à partir de l'amplitude de diffusion à énergie fixe. Pour cela, nous établissons un lien entre une méthode récemment introduite par Bukhgeim pour déterminer de façon unique le potentiel à partir de l'application Dirichlet-to-Neumann, et une question de Carleson qui concerne la convergence vers la donnée initiale des solutions de l'équation de Schrödinger dépendante du temps. Nous fournissons également des exemples de potentiels à support compact, avec $s$ dérivées dans $L^2$ pour tout $s <1 / 2$, qui ne peuvent pas être reconstruits par cette méthode. Ainsi, la méthode de reconstruction a un seuil en termes de la régularité qui diffère du résultat d'unicité.